순열과 조합

줄 세우기: 순열

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 골라 순서대로 늘어놓는 것을 순열이라 하고 ${}_n\mathrm{P}_r$ 로 써요.

같이 풀어 보기 1반장과 부반장

학생 5명 중 반장 1명, 부반장 1명을 뽑는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

반장 자리에 5명, 남은 4명 중 부반장 → ${}_5\mathrm{P}_2 = 5 \times 4 = 20$ (가지)

뽑기: 조합

순서 없이 $r$ 개를 뽑기만 하는 것은 조합, ${}_n\mathrm{C}_r$ 이에요. 같은 사람들로 만든 줄 $r!$ 개가 모둠 하나가 되므로

직접 해 보기

줄 세우기 vs 모둠 뽑기

전체 사람 수 n

4

고르는 사람 수 r

2

줄 세우기 (순서 있음 → 순열)모둠 뽑기 (순서 없음 → 조합)

가→나가→다가→라나→가나→다나→라다→가다→나다→라라→가라→나라→다

줄 세우기 4P24 × 3 = 12

모둠 뽑기 4C212 ÷ 2! = 12 ÷ 2 = 6

같은 모둠으로 만든 줄의 수2! = 2가지

'줄 세우기'에서 같은 색 줄들은 같은 사람들로 이루어져 있어요. 순서를 무시하면 이 줄들이 모두 한 모둠이 되므로, 줄의 수를 2!로 나누면 모둠의 수가 됩니다.

해 볼 것 · 같은 색 줄들은 같은 사람들로 이루어져 있어요. 색깔 묶음의 수가 조합의 수예요.

바둑판 길도 조합으로

집에서 학교까지 오른쪽으로 4칸, 위로 3칸 가야 한다면, 가장 짧은 길은 →와 ↑를 모두 7번 늘어놓는 방법이에요. 7자리 중 → 4개의 자리만 고르면 되므로 ${}_7\mathrm{C}_4 = 35$ 가지예요.

직접 해 보기

바둑판에서 가장 짧은 길

오른쪽으로 갈 칸 수 a

4

위로 갈 칸 수 b

3

아무 길이나 하나 보기 교차점마다 길의 수 쓰기

움직임→ 4번, ↑ 3번 (모두 7번)

→ 를 놓을 자리 고르기7C4 = 35

가장 짧은 길의 수35가지

해 볼 것 · '교차점마다 길의 수 쓰기'를 켜면 각 숫자가 왼쪽 숫자와 아래쪽 숫자의 합이에요. 파스칼의 삼각형과 같은 규칙이에요.

한 장 요약

한 장 요약

1. 순서가 있으면 순열 ${}_n\mathrm{P}_r$, 없으면 조합 ${}_n\mathrm{C}_r$.
2. ${}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)\cdots(n-r+1)$, ${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{P}_r \div r!$.
3. 바둑판의 가장 짧은 길 수 = 움직임 자리 고르기 = 조합.