이항분포

언제 이항분포인가?

각 시행에서 성공·실패를 구분하고, 시행 횟수 n이 고정되어 있으며, 시행들이 독립이고 성공확률 p가 같을 때 성공 횟수 X는 B(n,p)를 따릅니다. 성공은 원하는 사건에 붙인 이름입니다.

한 순서의 확률 × 순서의 개수

정확히 k번 성공하는 특정 순서의 확률은 p^k(1−p)^(n−k)입니다. 성공할 k개의 위치는 C(n,k)가지이므로 둘을 곱합니다. 특정 순서 하나와 정확히 k번 성공하는 사건을 구분하세요.

중심과 흩어짐

이항분포의 평균은 np, 분산은 np(1−p), 표준편차는 √{np(1−p)}입니다. 성공확률 p를 고정하고 n을 늘리면 횟수 X의 표준편차는 커질 수 있지만 비율 X/n의 표준편차는 작아집니다.

직접 해 보기

이항분포 탐색기

n, p, k와 사건의 범위를 바꾸며 막대의 넓이와 평균을 비교합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · n을 고정하고 p를 0.2에서 0.8로 바꿔 보세요. 두 분포의 모양은 어떤 관계인가요?

풀이 예제

같이 풀어 보기 1정확히 세 번 앞면

공정한 동전을 5번 던질 때 앞면이 정확히 3번 나올 확률은?

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1. X∼B(5,1/2)입니다.
2. 앞면 위치는 C(5,3)=10가지입니다.
3. 10×(1/2)³×(1/2)²=10/32=5/16입니다.

답: 5/16

같이 풀어 보기 2적어도 한 번 성공

독립 시행의 성공확률은 0.2이다. 3번 중 적어도 한 번 성공할 확률은?

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1. 실패확률은 0.8입니다.
2. 모두 실패할 확률은 0.8³=0.512입니다.
3. 여사건을 이용하면 1−0.512=0.488입니다.

답: 0.488

같이 풀어 보기 3불량품 개수의 중심

각 제품의 불량 여부가 독립이고 불량확률이 0.05일 때 100개 중 불량 수의 평균과 분산은?

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1. X∼B(100,0.05)입니다.
2. E(X)=100×0.05=5입니다.
3. V(X)=100×0.05×0.95=4.75입니다.

답: 평균 5개, 분산 4.75

같이 풀어 보기 4거꾸로 모수 찾기

X∼B(n,p), E(X)=6, V(X)=4.2이다. n,p를 구하자.

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1. V(X)/E(X)=1−p이므로 4.2/6=0.7입니다.
2. p=0.3입니다.
3. np=6에서 n=6/0.3=20입니다.

답: n=20, p=0.3

한 장 요약

1. 이항확률 — P(X=k) = C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)
2. 평균·분산 — E(X)=np, V(X)=np(1−p)
3. 적어도 한 번 — P(X≥1)=1−(1−p)^n