표본평균의 분포

표본을 뽑기 전과 뽑은 후

같은 모집단에서 크기 n의 표본을 반복해서 뽑으면 평균도 계속 달라집니다. 표본을 뽑기 전의 X̄는 확률변수이고, 실제 표본에서 계산한 x̄는 관측값입니다. 한 표본 안의 값들의 분포와 여러 표본평균의 분포는 다릅니다.

평균의 흔들림은 더 작다

서로 독립이고 같은 분포를 따르는 X₁,…,Xₙ의 평균이 X̄입니다. 각 값의 평균이 μ, 분산이 σ²이면 E(X̄)=μ, V(X̄)=σ²/n입니다. 표본평균의 표준편차 σ/√n을 표준오차라고 부릅니다.

정규모집단에서는 정확한 정규분포

모집단이 N(μ,σ²)이고 독립인 표본이면 X̄∼N(μ,σ²/n)입니다. 확률을 구할 때 표준편차 σ 대신 σ/√n을 사용합니다. 이 책의 모평균 추정은 2022 개정의 범위에 맞춰 정규모집단을 전제로 합니다.

직접 해 보기

표본평균의 표집분포

정규모집단에서 표본을 다시 뽑아 평균들의 분포를 만듭니다.

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해 볼 것 · n을 4배로 바꾸면 히스토그램의 퍼짐이 얼마나 줄어들까요? 이론적 표준오차와 비교하세요.

풀이 예제

같이 풀어 보기 1표본평균의 분포

모집단이 N(60,12²)이고 독립인 크기 36의 표본을 뽑는다. X̄의 분포는?

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1. E(X̄)=60입니다.
2. V(X̄)=144/36=4입니다.
3. 표준오차는 2이며 X̄∼N(60,4)입니다.

답: X̄∼N(60,2²)

같이 풀어 보기 2평균의 확률

N(100,20²)에서 독립인 100개 표본을 뽑는다. P(98≤X̄≤102)는? P(|Z|≤1)=0.6826이다.

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1. 표준오차는 20/√100=2입니다.
2. 양 끝의 z값은 −1과 1입니다.
3. 주어진 표준정규확률을 이용합니다.

답: 약 0.6826

같이 풀어 보기 3오차를 절반으로

표준오차가 4일 때 같은 모집단에서 표본크기만 늘려 2로 줄이려면 n을 몇 배로 해야 하는가?

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1. 표준오차는 1/√n에 비례합니다.
2. 1/√배수=1/2이므로 √배수=2입니다.
3. 배수는 4입니다.

답: 4배

같이 풀어 보기 4개별 점수와 평균 비교

모집단의 표준편차는 15이고 표본크기는 25이다. 개별 값과 표본평균의 표준편차를 비교하자.

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1. 개별 값의 표준편차는 15입니다.
2. 표본평균의 표준오차는 15/√25=3입니다.
3. 평균을 냈다고 모집단 개별 값의 퍼짐이 3으로 변한 것은 아닙니다.

답: 개별 값 15, 표본평균 3

한 장 요약

1. 평균의 평균 — E(X̄)=μ
2. 분산·표준오차 — V(X̄)=σ²/n, SE(X̄)=σ/√n
3. 정규모집단 — X̄ ∼ N(μ, σ²/n)