경우의 수, 출발선 맞추기

하나를 고르는가, 차례로 고르는가?

서로 겹치지 않는 두 방법 중 하나를 택한다면 경우의 수를 더합니다. 반대로 한 선택 뒤에 다른 선택이 이어지고 각 단계의 선택지가 일정하다면 곱합니다. 버스 3노선 또는 지하철 2노선 중 하나는 5가지, 상의 3벌과 하의 2벌의 조합은 6가지입니다.

순서를 지우면 조합이 된다

서로 다른 5명 중 회장·부회장을 정하면 AB와 BA가 다르므로 5×4가지입니다. 역할 없이 대표 2명을 고르면 AB와 BA가 같아 2!로 나눕니다. r명을 정렬하는 r!가지가 같은 한 조합으로 모입니다.

기호의 조건까지 읽기

n!은 1부터 n까지 정수의 곱이며 0!=1로 정합니다. P(n,r)는 n개 중 r개를 순서 있게, C(n,r)는 순서 없이 고르는 수입니다. 여기서는 n과 r이 정수이고 0≤r≤n입니다.

직접 해 보기

순서와 중복, 네 가지 셈

같은 n과 r에서 순서·중복 조건을 바꾸어 경우의 수를 비교합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · r=3으로 고정하고 n을 늘려 보세요. 중복을 허용할 때와 허용하지 않을 때 차이가 왜 커질까요?

풀이 예제

같이 풀어 보기 1옷차림 고르기

상의 4벌과 하의 3벌 중 각각 하나씩 입는 방법은?

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1. 상의 한 벌마다 하의를 3가지로 고를 수 있습니다.
2. 4개의 상의 선택 각각에 3개의 하의 선택이 연결되므로 4×3입니다.

답: 12가지

같이 풀어 보기 2두 가지 직책

6명 중 회장 1명과 부회장 1명을 겸임 없이 정하는 방법은?

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1. 회장은 6명 중에서 고릅니다.
2. 부회장은 회장을 제외한 5명 중에서 고릅니다.
3. 역할이 다르므로 순서를 구분하여 6×5를 계산합니다.

답: 30가지

같이 풀어 보기 3역할 없는 대표

7명 중 대표 3명을 뽑는 방법은?

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1. 먼저 순서 있게 뽑으면 7×6×5=210입니다.
2. 같은 대표 3명이 3!=6번씩 세어졌습니다.
3. C(7,3)=210÷6=35입니다.

답: 35가지

같이 풀어 보기 4특정 학생을 포함하기

8명 중 3명의 대표를 뽑되 민서를 반드시 포함하는 방법은?

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1. 민서는 이미 뽑힌 것으로 고정합니다.
2. 나머지 7명 중에서 2명을 고르면 됩니다.
3. C(7,2)=21입니다.

답: 21가지

한 장 요약

1. 곱의 법칙 — m × n
2. 순열 — P(n,r) = n! / (n−r)!
3. 조합 — C(n,r) = n! / {r!(n−r)!}