이항정리

각 괄호에서 무엇을 고르는가

(a+b)ⁿ은 (a+b)를 n개 곱한 것입니다. 그중 r개의 괄호에서 b를 고르고 나머지에서 a를 고르면 a^(n−r)b^r가 나옵니다. b를 고를 괄호의 수가 C(n,r)이므로 이것이 계수입니다.

일반항으로 목표 지수 맞추기

(2x−1)⁵의 일반항은 C(5,r)(2x)^(5−r)(−1)^r입니다. x³을 찾으려면 5−r=3에서 r=2입니다. 계수에는 조합뿐 아니라 2의 거듭제곱과 부호가 함께 들어갑니다.

계수의 합은 x=1

다항식 f(x)의 모든 계수의 합은 f(1)입니다. (1+x)ⁿ에서 x=1이면 이항계수의 합이 2ⁿ입니다. x=−1을 대입하면 짝수 번째와 홀수 번째 이항계수 합의 차이를 알 수 있습니다.

직접 해 보기

파스칼의 삼각형

이항계수를 선택하고 위의 두 수의 합이라는 관계를 확인합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · n행의 모든 수를 더하면 왜 2ⁿ이 될까요? (1+x)ⁿ에 어떤 값을 대입하면 될까요?

풀이 예제

같이 풀어 보기 1x²의 계수

(1+x)⁶의 전개식에서 x²의 계수는?

▸ 풀이 보기

1. 6개 괄호 중 2개에서 x를 선택합니다.
2. 계수는 C(6,2)=15입니다.

답: 15

같이 풀어 보기 2상수가 섞인 식

(2x−1)⁵의 전개식에서 x³의 계수는?

▸ 풀이 보기

1. 일반항은 C(5,r)(2x)^(5−r)(−1)^r입니다.
2. 5−r=3이므로 r=2입니다.
3. C(5,2)×2³×(−1)²=80입니다.

답: 80

같이 풀어 보기 3상수항 찾기

(x²+1/x)⁶의 전개식에서 상수항은? 단, x≠0.

▸ 풀이 보기

1. 일반항의 x 지수는 2(6−r)−r=12−3r입니다.
2. 상수항이려면 12−3r=0이므로 r=4입니다.
3. 계수 C(6,4)=15입니다.

답: 15

같이 풀어 보기 4계수의 합

(2x+3)⁴의 전개식에서 모든 계수의 합은?

▸ 풀이 보기

1. 모든 x의 거듭제곱을 1로 만들기 위해 x=1을 넣습니다.
2. (2+3)⁴=625입니다.

답: 625

한 장 요약

1. 이항정리 — (a+b)^n = Σ[r=0…n] C(n,r)a^(n−r)b^r
2. 전체 이항계수 합 — Σ C(n,r) = 2^n
3. 파스칼 관계 — C(n,r) = C(n−1,r−1)+C(n−1,r)