평균·분산·표준편차

평균은 확률을 가중치로 한 중심

E(X)는 각 값에 그 값의 확률을 곱하여 더한 값입니다. 단순히 가능한 값들의 평균을 구하는 것은 각 확률이 같을 때만 맞습니다. 기댓값은 장기간 같은 실험을 반복할 때 평균을 설명하며, 실제로 나올 수 없는 값일 수도 있습니다.

흩어진 정도를 제곱으로 모으기

편차 X−E(X)를 그대로 평균내면 양수와 음수가 상쇄됩니다. 분산 V(X)는 편차 제곱의 평균입니다. 계산할 때는 E(X²)−{E(X)}²를 이용할 수 있습니다. 표준편차는 분산의 음이 아닌 제곱근이며 X와 단위가 같습니다.

이동과 확대의 효과

Y=aX+b이면 모든 값이 b만큼 평행이동하고 a배 확대되거나 반사됩니다. 평균은 aE(X)+b, 분산은 a²V(X), 표준편차는 |a|σ(X)입니다. 상수를 더해도 퍼진 정도는 바뀌지 않습니다.

직접 해 보기

확률분포의 균형점

다섯 값의 가중치를 바꾸면 정규화된 확률과 평균·분산을 계산합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · 평균을 2로 유지하면서 분산을 크게 만들어 보세요. 중심보다 양 끝에 확률을 놓으면 어떤 일이 생기나요?

풀이 예제

같이 풀어 보기 1세 값의 중심

X=0,1,2의 확률이 1/4,1/2,1/4일 때 평균과 분산은?

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1. E(X)=0×1/4+1×1/2+2×1/4=1입니다.
2. E(X²)=0+1×1/2+4×1/4=3/2입니다.
3. V(X)=3/2−1²=1/2입니다.

답: E(X)=1, V(X)=1/2

같이 풀어 보기 2손익의 기댓값

게임 순이익 X가 2000원일 확률 1/4, −1000원일 확률 3/4이다. 평균 순이익은?

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1. 이익과 손실의 부호를 그대로 씁니다.
2. E(X)=2000×1/4+(−1000)×3/4=−250입니다.
3. 기댓값은 한 번의 결과를 보장하는 값이 아닙니다.

답: −250원

같이 풀어 보기 3점수 변환

E(X)=50, V(X)=9이다. Y=2X+10의 평균·분산·표준편차는?

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1. 평균은 2×50+10=110입니다.
2. 분산은 2²×9=36입니다.
3. 표준편차는 √36=6입니다.

답: 110, 36, 6

같이 풀어 보기 4평균은 같고 분산은 다르게

A는 0,2를 각각 1/2로, B는 −1,3을 각각 1/2로 갖는다. 분산을 비교하자.

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1. 둘의 평균은 모두 1입니다.
2. A의 평균에서의 거리는 모두 1이므로 분산은 1입니다.
3. B의 평균에서의 거리는 모두 2이므로 분산은 4입니다.

답: V(A)=1, V(B)=4: B가 더 넓게 퍼져 있습니다.

한 장 요약

1. 평균 — E(X) = Σ{x × P(X=x)}
2. 분산 — V(X) = E(X²) − {E(X)}²
3. 표준편차 — σ(X) = √V(X)
4. 선형변환 — E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=a²V(X)