모평균의 추정

이 장에서 쓰는 가정

모집단은 정규분포, 표본은 독립인 임의표본이며 모표준편차 σ를 알고 있다고 가정합니다. 이 조건에서 표본평균을 이용한 z 신뢰구간을 다룹니다. σ를 모를 때 작은 표본의 표본표준편차로 그대로 대체하는 것은 이 공식의 정확한 적용이 아닙니다.

점추정에서 구간추정으로

표본평균 x̄를 중심으로 오차한계 z*σ/√n만큼 양쪽으로 펼칩니다. 양측 95% 신뢰구간에는 z*≈1.96, 90%에는 1.645, 99%에는 2.576을 사용합니다. 구간의 폭은 오차한계의 두 배입니다.

95%의 정확한 의미

같은 조건에서 표본을 반복해서 뽑고 같은 방법으로 구간을 만들면 그 구간들 중 약 95%가 고정된 모평균 μ를 포함한다는 뜻입니다. 이미 구한 특정 구간 안에 모집단 개별 값의 95%가 있다는 뜻이 아닙니다.

계산 결과를 문장으로

대상 모집단, 추출 방법, 표본크기, 가정, 신뢰수준, 신뢰구간과 한계를 함께 씁니다. 구간이 좁아 보여도 편향된 표본이라면 해석을 경계해야 합니다.

직접 해 보기

모평균 구간과 95%의 의미

알려진 σ를 가진 정규모집단의 신뢰구간을 만들고 반복 포함률을 실험합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · 100개 구간 중 정확히 95개가 항상 μ를 포함해야 하나요? 반복실험으로 그 이유를 확인하세요.

풀이 예제

같이 풀어 보기 195% 신뢰구간

정규모집단의 σ=10을 안다. 독립인 표본 n=100에서 x̄=50이다. 95% 신뢰구간은?

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1. 표준오차는 10/√100=1입니다.
2. 오차한계는 1.96×1=1.96입니다.
3. 구간은 50±1.96입니다.

답: [48.04, 51.96]

같이 풀어 보기 2신뢰수준 비교

같은 자료에서 x̄=80, σ=12, n=36이다. 90%와 95% 구간의 오차한계는?

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1. 표준오차는 12/6=2입니다.
2. 90%는 1.645×2=3.29입니다.
3. 95%는 1.96×2=3.92로 더 넓습니다.

답: 90%: 3.29, 95%: 3.92

같이 풀어 보기 3표본크기 설계

σ=10인 정규모집단의 95% 모평균 추정에서 오차한계를 2 이하로 하려면 n은 최소 얼마인가?

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1. 1.96×10/√n≤2로 놓습니다.
2. n≥(19.6/2)²=96.04입니다.
3. 표본크기는 정수이고 조건을 만족해야 하므로 올립니다.

답: 최소 97

같이 풀어 보기 4보고서 문장 고치기

“이 구간 안에 학생 95%의 통학시간이 있다”라는 해석을 고쳐 보자.

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1. 여기서 추정하는 것은 개별 학생의 시간이 아니라 모집단의 평균입니다.
2. 95%는 반복해서 만든 구간들의 포함 비율을 뜻합니다.
3. “가정 아래 전교생의 평균 통학시간에 대한 95% 신뢰구간은 …이다”처럼 씁니다.

답: 모평균에 대한 신뢰구간으로 해석합니다.

한 장 요약

1. 모평균의 신뢰구간 — x̄ ± z* × σ/√n
2. 오차한계 — E = z* × σ/√n
3. 필요 표본크기 — n ≥ (z*σ / 목표 오차한계)² → 올림