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Elly & Julie

UNIT 01

중복순열

한 번 고른 것을 또 골라도 된다면? 비밀번호부터 함수의 개수까지 같은 원리로 셉니다.

고2어려움 ★★★★★약 60분#중복순열#경우의 수AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

  • 중복순열의 의미와 n^r의 이유를 설명한다.
  • 첫 자리·인접 자리 등 제한 조건을 반영한다.
  • 함수의 개수를 중복순열로 해석한다.
문제 10개 풀기 ↓+ 공부 계획표에 넣기

독립적으로 채우는 r개의 자리

서로 다른 n개 중 중복을 허용하여 r개를 순서 있게 나열합니다. 모든 자리에 n가지가 들어갈 수 있으므로 n을 r번 곱합니다. “중복 가능”은 꼭 반복되어야 한다는 뜻이 아니라 반복해도 된다는 뜻입니다.

짚고 가기

길이가 3인 이진 문자열은 000도, 010도, 111도 모두 허용됩니다.

자릿수와 비밀번호를 구분하기

0,1,2로 길이 3의 비밀번호를 만들면 000도 가능하므로 3³가지입니다. 하지만 세 자리 자연수이면 첫 자리에 0이 올 수 없어 2×3²가지입니다.

짚고 가기

문제에서 첫 자리 0을 허용하는지 먼저 표시하세요.

함수도 자리 채우기

원소가 r개인 정의역의 각 원소마다 n개인 공역의 원소 하나를 대응시킵니다. 서로 다른 입력이 같은 출력에 대응해도 되므로 함수는 n^r개입니다. 일대일함수라면 이미 사용한 출력을 다시 쓰지 못합니다.

짚고 가기

정의역의 원소들이 r개의 자리, 공역의 원소들이 각 자리의 선택지입니다.

직접 해 보기

순서와 중복, 네 가지 셈

같은 n과 r에서 순서·중복 조건을 바꾸어 경우의 수를 비교합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · r=3으로 고정하고 n을 늘려 보세요. 중복을 허용할 때와 허용하지 않을 때 차이가 왜 커질까요?

풀이 예제

같이 풀어 보기 1네 자리 PIN

0부터 9까지 숫자로 길이 4의 PIN을 만든다. 첫 자리 0도 허용할 때 개수는?

▸ 풀이 보기
  1. 각 자리마다 10개의 선택지가 있습니다.
  2. 같은 숫자 반복이 가능하므로 10⁴=10000입니다.

답: 10000개

같이 풀어 보기 2세 자리 자연수

0,1,2,3,4로 숫자의 반복을 허용하여 만들 수 있는 세 자리 자연수는?

▸ 풀이 보기
  1. 첫 자리에는 1,2,3,4만 가능하므로 4가지입니다.
  2. 나머지 두 자리는 각각 5가지입니다.
  3. 4×5×5=100입니다.

답: 100개

같이 풀어 보기 3이웃한 색은 다르게

빨강·파랑·초록으로 일렬의 4칸을 칠한다. 이웃한 칸의 색이 다른 방법은?

▸ 풀이 보기
  1. 첫 칸은 3가지입니다.
  2. 이후 각 칸은 바로 앞 칸과 다른 2가지입니다.
  3. 3×2³=24입니다. 첫째 칸과 셋째 칸은 같아도 됩니다.

답: 24가지

같이 풀어 보기 4함수의 개수

A={1,2,3,4}, B={a,b,c}일 때 A에서 B로의 함수는 몇 개인가?

▸ 풀이 보기
  1. A의 각 원소마다 B의 원소 3개 중 하나를 정합니다.
  2. 4개의 대응을 독립적으로 정하므로 3⁴입니다.

답: 81개

조심!
  • 중복 허용과 같은 것이 있는 순열을 혼동하지 않습니다.
  • 바로 이웃한 자리만 다르다는 조건은 모든 숫자가 다르다는 조건이 아닙니다.

한 장 요약

  1. 중복순열 — Π(n,r) = n^r
  2. 첫 자리 0 제외 — (n−1) × n^(r−1)
  3. 인접 자리 다름 — n × (n−1)^(r−1)

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 성취기준 12확통01-01 (원본 표기)

Practice

문제 풀기 10문제

맞힘 0 · 틀림 0 · 푼 문제 0/10(이 기기에 저장돼요)
  1. Q1기본

    0,1로 길이 5의 문자열을 만드는 방법의 수는?

    답
  2. Q2기본

    문자 A,B,C,D로 길이 3의 코드를 만든다. 중복을 허용할 때 개수는?

    답
  3. Q3실력

    0,1,2,3을 반복 사용하여 만드는 세 자리 자연수의 수는?

    답
  4. Q4기본

    A,B,C로 길이 4의 코드를 만들되 첫 문자는 A로 고정한다. 개수는?

    답
  5. Q5실력

    서로 다른 3통의 편지를 서로 다른 우체통 4개에 넣는다. 한 우체통에 여러 통을 넣어도 될 때 방법의 수는?

    답
  6. Q6기본

    원소가 3개인 집합에서 원소가 5개인 집합으로의 함수의 수는?

    답
  7. Q7실력

    색 4가지로 일렬의 3칸을 칠하되 이웃한 칸의 색은 다르게 한다. 방법의 수는?

    답
  8. Q8도전

    0부터 9까지의 숫자로 길이 3의 코드를 만든다. 반복을 허용하되 숫자 7이 적어도 한 번 나타나는 코드의 수는?

    답
  9. Q9실력

    A,B,C로 길이 4의 코드를 만든다. A가 정확히 한 번 등장하는 코드의 수는?

    답
  10. Q10도전

    0,1,2,3,4를 반복 사용하여 만드는 세 자리 짝수의 수는?

    답

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