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Elly & Julie

UNIT 08

독립과 확률의 곱셈정리

앞선 결과가 다음 확률을 바꾸는가? 복원추출과 비복원추출을 비교하며 연결된 사건을 계산합니다.

고2어려움 ★★★★★약 65분#독립과#확률의#곱셈정리#확률AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

  • 확률의 곱셈정리를 조건부확률에서 유도한다.
  • 사건의 독립과 종속을 판정한다.
  • 복원·비복원추출과 독립 시행의 확률을 구한다.
문제 10개 풀기 ↓+ 공부 계획표에 넣기

동시에 일어날 확률

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)의 양변에 P(A)를 곱하면 곱셈정리가 됩니다. 먼저 A가 일어날 확률과 그 조건 아래 B가 일어날 확률을 곱하는 것입니다.

짚고 가기

순서가 있는 문제에서는 나무의 한 경로를 따라 확률을 곱합니다.

독립이라는 추가 조건

P(A∩B)=P(A)P(B)이면 두 사건은 독립입니다. P(A)>0일 때 P(B|A)=P(B)와 동치입니다. “아무 관련 없어 보인다”는 느낌보다 정의에 따라 확인하는 것이 안전합니다.

짚고 가기

독립일 때만 조건부확률을 무조건부확률로 바꿀 수 있습니다.

뽑은 것을 돌려놓는가

빨간 공 3개, 파란 공 2개에서 빨간 공을 뽑은 뒤 되돌리면 다음 빨간 확률은 다시 3/5입니다. 되돌리지 않으면 빨간 공 2개, 전체 4개가 남아 2/4입니다.

짚고 가기

복원 후 충분히 섞고 같은 방식으로 뽑는 실험을 독립으로 모델링합니다.

독립시행에서 횟수 세기

성공확률 p인 시행을 독립적으로 n번 할 때 특정한 순서로 r번 성공할 확률은 p^r(1−p)^(n−r)입니다. 성공 위치 C(n,r)개를 모두 더하면 정확히 r번 성공할 확률을 얻습니다.

짚고 가기

각 순서는 서로 배반이므로 같은 확률을 순서의 수만큼 더합니다.

직접 해 보기

복원과 비복원 추출

빨간 공과 파란 공을 두 번 뽑는 나무의 각 경로 확률을 비교합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · 빨간 공을 뽑은 뒤 두 번째 빨강 확률이 달라지는 이유를 “남은 공”의 수로 설명하세요.

풀이 예제

같이 풀어 보기 1비복원추출

빨간 공 3개, 파란 공 2개에서 되돌리지 않고 두 개를 차례로 뽑는다. 둘 다 빨간 확률은?

▸ 풀이 보기
  1. 첫 빨간 확률은 3/5입니다.
  2. 첫 공이 빨간 경우 남은 빨간 공은 2개, 전체는 4개입니다.
  3. (3/5)×(2/4)=3/10입니다.

답: 3/10

같이 풀어 보기 2복원추출

같은 주머니에서 매번 되돌리고 섞어서 두 번 뽑는다. 둘 다 빨간 확률은?

▸ 풀이 보기
  1. 두 시행 모두 빨간 확률이 3/5입니다.
  2. 독립으로 시행하므로 (3/5)²=9/25입니다.

답: 9/25

같이 풀어 보기 3독립 판정

P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2이면 독립인가?

▸ 풀이 보기
  1. P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2입니다.
  2. 주어진 교사건의 확률과 같으므로 독립입니다.

답: 독립이다

같이 풀어 보기 4정확히 두 번 성공

성공확률 0.6인 독립 시행을 3번 할 때 정확히 2번 성공할 확률은?

▸ 풀이 보기
  1. 성공 위치를 고르는 방법은 C(3,2)=3입니다.
  2. 각 순서의 확률은 0.6²×0.4입니다.
  3. 3×0.36×0.4=0.432입니다.

답: 0.432

조심!
  • 비복원추출에서 분모뿐 아니라 해당 색의 개수도 바뀝니다.
  • 서로 독립과 서로 배반을 혼동하지 않습니다.

한 장 요약

  1. 곱셈정리 — P(A∩B)=P(A)P(B|A)
  2. 독립의 조건 — P(A∩B)=P(A)P(B)
  3. 정확히 r번 성공 — C(n,r)p^r(1−p)^(n−r)

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 성취기준 확률: 사건의 독립과 곱셈정리 (원본 표기)

Practice

문제 풀기 10문제

맞힘 0 · 틀림 0 · 푼 문제 0/10(이 기기에 저장돼요)
  1. Q1기본

    P(A)=0.5, P(B|A)=0.3일 때 P(A∩B)는?

    답
  2. Q2기본

    A,B가 독립이고 P(A)=0.4, P(B)=0.2일 때 P(A∩B)는?

    답
  3. Q3기본

    빨간 공 4개, 파란 공 2개에서 복원추출을 2번 한다. 둘 다 빨간 공일 확률은?

    답
  4. Q4실력

    빨간 공 4개, 파란 공 2개에서 비복원추출을 2번 한다. 둘 다 빨간 공일 확률은?

    답
  5. Q5실력

    빨간 공 3개, 파란 공 2개에서 비복원추출을 2번 한다. 빨간 공 다음 파란 공이 나올 확률은?

    답
  6. Q6실력

    A,B가 독립이고 P(A)=0.3, P(B)=0.4일 때 둘 다 일어나지 않을 확률은?

    답
  7. Q7실력

    P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(A∩B)=0.2일 때 A,B는 독립인가?

  8. Q8실력

    성공확률 1/2인 독립 시행 4번에서 정확히 3번 성공할 확률은?

    답
  9. Q9기본

    독립인 세 장치의 작동확률이 각각 0.9이다. 세 장치가 모두 작동할 확률은?

    답
  10. Q10도전

    빨간 공 3개, 파란 공 3개에서 두 개를 비복원추출한다. 두 공의 색이 다를 확률은?

    답

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2026 · Codex Astra 6 판

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