확률의 뜻과 기본 성질

결과의 집합과 사건

한 번의 시행에서 가능한 모든 결과의 집합이 표본공간 S입니다. 사건 A는 그중 관심 있는 결과들을 모은 부분집합입니다. 주사위에서 S={1,2,3,4,5,6}, 짝수 사건은 {2,4,6}입니다.

개수의 비로 계산할 수 있는 조건

유한한 표본공간의 각 결과가 일어날 가능성이 같을 때 P(A)=n(A)/n(S)입니다. 주사위 두 개의 합 2부터 12까지가 모두 같은 가능성인 것은 아닙니다. 대신 순서 있는 결과 (i,j) 36개는 공정하고 독립인 주사위에서 같은 가능성을 갖습니다.

상대도수는 흔들리면서 안정된다

n번 중 사건 A가 r번 발생했다면 상대도수는 r/n입니다. 동일한 조건의 독립 실험을 많이 반복하면 이 값이 확률 근처에 모이는 경향을 관찰할 수 있습니다. 매번 오차가 줄거나 정확히 확률과 같아지는 것은 아닙니다.

직접 해 보기

동전과 큰 반복 실험

설정한 앞면 확률과 반복 시행에서의 상대도수를 비교합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · 시행 수가 많아지면 상대도수가 매번 이론값에 더 가까워질까요? “항상”과 “장기적 경향”을 구분하세요.

풀이 예제

같이 풀어 보기 1주사위의 사건

공정한 주사위 한 개에서 4 이상의 눈이 나올 확률은?

▸ 풀이 보기

1. 표본공간의 6개 결과는 같은 가능성을 갖습니다.
2. 사건은 {4,5,6}으로 결과가 3개입니다.
3. 확률은 3/6=1/2입니다.

답: 1/2

같이 풀어 보기 2주사위 두 개의 합

서로 독립인 공정한 주사위 두 개의 합이 7일 확률은?

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1. 순서 있는 결과는 36개이며 같은 가능성입니다.
2. (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)의 6개가 조건에 맞습니다.
3. 6/36=1/6입니다.

답: 1/6

같이 풀어 보기 3공을 동시에 뽑기

서로 구별되는 공 5개 중 빨간 공 2개가 있다. 2개를 같은 가능성으로 고를 때 둘 다 빨간 공일 확률은?

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1. 전체 선택은 C(5,2)=10가지입니다.
2. 두 빨간 공을 고르는 선택은 C(2,2)=1가지입니다.
3. 확률은 1/10입니다.

답: 1/10

같이 풀어 보기 4실험의 상대도수

동전을 500번 던져 앞면이 263번 나왔다. 앞면의 상대도수는?

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1. 발생 횟수를 전체 시행 횟수로 나눕니다.
2. 263/500=0.526입니다.
3. 공정한 동전의 이론값 0.5와 달라도 이 결과만으로 모순은 아닙니다.

답: 0.526

한 장 요약

1. 같은 가능성일 때 — P(A) = n(A)/n(S)
2. 확률의 범위 — 0 ≤ P(A) ≤ 1
3. 확실·불가능 — P(S)=1, P(∅)=0