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Elly & Julie

UNIT 16

표본비율과 모비율의 추정

찬성률, 이용률, 성공률. 2022 개정에서 새롭게 강조하는 비율의 추정을 다룹니다.

고2어려움 ★★★★★약 65분#표본비율과#모비율의#추정#통계AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

  • 표본비율의 평균과 분산을 이해한다.
  • 큰 표본에서 모비율의 근사 신뢰구간을 구한다.
  • 비율의 오차한계와 근사 조건을 해석한다.
문제 10개 풀기 ↓+ 공부 계획표에 넣기

비율도 표본마다 달라진다

관심 특성을 가진 수 X가 B(n,p)를 따르면 표본비율 P̂=X/n입니다. 표본을 뽑기 전의 P̂는 확률변수, 관측한 p̂=x/n은 값입니다. E(P̂)=p, V(P̂)=p(1−p)/n이므로 표본이 커질수록 비율의 흔들림이 작아집니다.

짚고 가기

한 번 얻은 표본비율과 아직 모르는 모집단의 참 비율을 구분하세요.

큰 표본에서 정규근사

독립인 임의표본의 크기가 충분히 크고 비율이 극단적이지 않으면 표본비율의 분포를 정규분포로 근사합니다. 실제 추정에서는 표준오차를 √{p̂(1−p̂)/n}으로 추정합니다.

짚고 가기

이 실험실은 성공 수와 실패 수가 각각 10 이상인지 확인합니다. 이는 널리 쓰이는 실무적 점검 기준이며 교육과정의 고정된 수치 조건은 아닙니다.

모비율의 근사 신뢰구간

p̂를 중심으로 z*√{p̂(1−p̂)/n}만큼 펼칩니다. 이 식은 정규근사를 사용한 신뢰구간이며 모든 n,p에서 정확한 포함률을 보장하는 공식은 아닙니다. 작은 표본이나 p̂=0 또는 1에서는 다른 방법을 검토해야 합니다.

짚고 가기

계산된 구간이 [0,1]을 벗어나면 그냥 잘라서 정확한 구간처럼 제시하지 않고 근사의 한계를 표시합니다.

퍼센트와 퍼센트포인트

p̂=0.60이고 오차한계가 0.04라면 60%±4%p이며 구간은 [56%,64%]입니다. 60%의 4%인 2.4%p를 뜻하지 않습니다. 비율의 분모, 모집단, 시기와 표본추출 방식을 함께 제시합니다.

짚고 가기

신뢰수준은 모평균 추정과 마찬가지로 반복한 구간 생성 절차에 대한 의미입니다.

직접 해 보기

모비율의 근사 신뢰구간

표본크기와 관심 특성의 수로 구간을 만들고 정규근사 조건을 점검합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · 성공 수가 0인데 [0,0]이라는 구간이 나오면 믿을 수 있을까요? 작은 표본의 근사 한계를 설명하세요.

풀이 예제

같이 풀어 보기 1절반이 찬성한 조사

독립인 임의표본 400명 중 200명이 찬성했다. 95% 모비율 근사 신뢰구간은?

▸ 풀이 보기
  1. p̂=200/400=0.5이며 찬성·반대 수가 충분합니다.
  2. 추정 표준오차는 √(0.5×0.5/400)=0.025입니다.
  3. 오차한계는 1.96×0.025=0.049입니다.

답: [0.451,0.549], 즉 약 [45.1%,54.9%]

같이 풀어 보기 236%의 추정

독립인 임의표본 400명 중 144명이 서비스를 이용했다. 95% 근사 구간은?

▸ 풀이 보기
  1. p̂=144/400=0.36입니다.
  2. 표준오차는 √(0.36×0.64/400)=0.024입니다.
  3. 오차한계는 1.96×0.024=0.04704입니다.

답: [0.31296,0.40704], 약 [31.30%,40.70%]

같이 풀어 보기 3표본을 네 배로

표본비율이 모두 0.5인 두 조사에서 n=100과 n=400의 95% 오차한계를 비교하자.

▸ 풀이 보기
  1. n=100의 표준오차는 0.05이므로 오차한계 0.098입니다.
  2. n=400은 표준오차 0.025, 오차한계 0.049입니다.
  3. 같은 표본비율이라면 표본크기 4배에 오차한계는 절반이 됩니다.

답: 9.8%p → 4.9%p

같이 풀어 보기 4성공이 한 번도 없다면

20명 중 특정 특성을 가진 사람이 0명이다. 이 공식으로 [0,0]을 보고해도 되는가?

▸ 풀이 보기
  1. p̂=0이므로 공식에 그대로 넣으면 표준오차도 0이 됩니다.
  2. 그러나 표본이 작고 성공 수가 0이라 정규근사 조건을 만족하지 않습니다.
  3. 모비율이 반드시 0이라는 결론을 내리지 말고, 다른 구간 추정 방법 또는 더 적절한 표본 설계를 검토해야 합니다.

답: [0,0]을 신뢰할 수 있는 모비율 구간으로 보고하지 않습니다.

조심!
  • 모비율 추정은 충분히 큰 표본의 근사라는 점을 밝힙니다.
  • 비율 0.03의 오차한계는 3%p입니다.

한 장 요약

  1. 표본비율 — P̂=X/n, E(P̂)=p, V(P̂)=p(1−p)/n
  2. 추정 표준오차 — SE ≈ √{p̂(1−p̂)/n}
  3. 모비율 근사 신뢰구간 — p̂ ± z* × √{p̂(1−p̂)/n}

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 성취기준 12확통03-06 · 12확통03-07 (원본 표기)

Practice

문제 풀기 10문제

맞힘 0 · 틀림 0 · 푼 문제 0/10(이 기기에 저장돼요)
  1. Q1기본

    표본 500명 중 325명이 찬성했다. 표본비율은?

    답
  2. Q2기본

    모비율 p=0.4일 때 표본비율 P̂의 기댓값은?

    답
  3. Q3기본

    p=0.5, n=100일 때 표본비율의 분산은?

    답
  4. Q4기본

    p̂=0.5, n=400일 때 추정 표준오차는?

    답
  5. Q5기본

    p̂=0.5, n=400일 때 95% 모비율 근사 구간의 오차한계는? z*=1.96.

    답
  6. Q6기본

    p̂=0.5, n=400일 때 95% 근사 구간의 하한은? z*=1.96.

    답
  7. Q7기본

    비율의 오차한계가 0.035이다. 몇 퍼센트포인트(%p)인가?

    답
  8. Q8실력

    n=20, 성공 수 0일 때 이 책의 정규근사 구간을 그대로 사용해도 되는가?

  9. Q9실력

    p̂=0.36, n=400일 때 추정 표준오차는?

    답
  10. Q10실력

    같은 n에서 p̂가 0.2,0.5,0.8일 때 이 근사식의 오차한계가 가장 큰 p̂는?

    답

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