확률변수와 확률분포

결과를 수로 바꾸는 약속

동전을 두 번 던지는 결과 HH, HT, TH, TT에 대해 앞면의 수 X를 대응시키면 X의 값은 2,1,1,0입니다. 확률변수는 결과마다 실수를 대응시키는 규칙입니다. 확률변수 X와 실제로 관측된 값 x를 구분합니다.

확률분포표 읽기

이산확률변수는 셀 수 있는 값들을 가집니다. 각 값 x에 P(X=x)를 대응시킨 것이 확률분포입니다. 각 확률은 0 이상이고 전체 합은 1이어야 합니다. 표에 없는 값이 가능한지 먼저 확인하세요.

범위에 해당하는 칸을 더하기

P(X≤2)는 X가 2 이하인 모든 칸의 확률을 합합니다. X가 정수일 때 P(X<2)와 P(X≤2)는 X=2의 확률만큼 다릅니다. 확률변수의 분포를 알면 원래 표본공간을 매번 다시 열거할 필요가 없습니다.

직접 해 보기

확률분포의 균형점

다섯 값의 가중치를 바꾸면 정규화된 확률과 평균·분산을 계산합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · 평균을 2로 유지하면서 분산을 크게 만들어 보세요. 중심보다 양 끝에 확률을 놓으면 어떤 일이 생기나요?

풀이 예제

같이 풀어 보기 1동전 두 번

공정한 동전을 두 번 던질 때 앞면 수 X의 분포를 구하자.

▸ 풀이 보기

1. 서로 같은 가능성의 결과는 HH,HT,TH,TT입니다.
2. X=0은 TT 한 개, X=1은 HT,TH 두 개, X=2는 HH 한 개입니다.
3. 분포표의 확률은 1/4,1/2,1/4이며 합은 1입니다.

답: P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4

같이 풀어 보기 2빠진 상수 찾기

X=0,1,2의 확률이 각각 a,2a,3a이다. a와 P(X≥1)은?

▸ 풀이 보기

1. 확률의 합이 1이므로 6a=1입니다.
2. a=1/6이며 세 확률은 모두 0 이상입니다.
3. P(X≥1)=2a+3a=5/6입니다.

답: a=1/6, P(X≥1)=5/6

같이 풀어 보기 3주사위 결과 변환

공정한 주사위의 눈이 홀수이면 X=1, 짝수이면 X=0으로 정한다. 분포는?

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1. 홀수는 1,3,5이고 짝수는 2,4,6입니다.
2. 각 경우 3개씩이므로 두 확률은 모두 1/2입니다.

답: P(X=0)=P(X=1)=1/2

같이 풀어 보기 4분포표의 범위 읽기

X=0,1,2,3의 확률이 0.1,0.2,0.3,0.4이다. P(1≤X<3)은?

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1. 조건을 만족하는 값은 1과 2입니다.
2. X=3은 포함되지 않으므로 0.4를 더하지 않습니다.
3. 0.2+0.3=0.5입니다.

답: 0.5

한 장 요약

1. 분포의 조건 — 0 ≤ P(X=x) ≤ 1, ΣP(X=x) = 1
2. 구간 확률 — P(a ≤ X ≤ b) = 해당 값의 확률의 합