정규분포와 표준화

평균이 위치, 표준편차가 폭

X∼N(μ,σ²)는 평균 μ, 분산 σ²인 정규분포를 뜻합니다. 곡선은 μ를 중심으로 대칭이고 곡선 아래 전체 넓이는 1입니다. 같은 평균에서 σ가 커지면 더 넓고 낮은 곡선이 됩니다.

확률은 점의 높이가 아니라 넓이

정규분포에서 P(a≤X≤b)는 a와 b 사이의 곡선 아래 넓이입니다. 특정한 한 점의 확률은 0이므로 구간 양 끝의 포함 여부는 확률을 바꾸지 않습니다. 곡선의 높이 자체를 확률로 읽지 않습니다.

모든 정규분포를 하나의 눈금으로

X에서 평균을 빼고 표준편차로 나누면 Z∼N(0,1)이 됩니다. 이때 양 끝도 같은 방식으로 바꾸어야 합니다. 왼쪽 누적확률 Φ(z)=P(Z≤z)를 사용하면 구간 확률은 Φ(상한)−Φ(하한)입니다.

자주 쓰는 기준값

표준정규분포에서 P(|Z|≤1)≈0.6826, P(|Z|≤1.96)≈0.95, P(|Z|≤2)≈0.9544입니다. 양쪽 가운데 95%와 한쪽 누적 95%는 서로 다른 조건입니다.

직접 해 보기

정규분포와 구간 넓이

평균·표준편차·구간을 움직이며 표준화와 확률을 함께 확인합니다.

원본 학습서에서 크게 열기 →

해 볼 것 · 구간을 μ−σ부터 μ+σ로 설정하세요. μ와 σ가 바뀌어도 구간의 확률이 같은 이유는 무엇일까요?

풀이 예제

같이 풀어 보기 1점수를 표준 눈금으로

X∼N(70,10²)이다. X=85의 표준화 값은?

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1. 평균 μ=70, 표준편차 σ=10입니다.
2. z=(85−70)/10=1.5입니다.
3. 평균보다 표준편차의 1.5배 높은 위치입니다.

답: z=1.5

같이 풀어 보기 2평균에서 한 표준편차

X∼N(100,15²)이다. P(85≤X≤115)는? P(0≤Z≤1)=0.3413을 이용한다.

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1. 양 끝을 표준화하면 −1과 1입니다.
2. 대칭성으로 P(−1≤Z≤1)=2P(0≤Z≤1)입니다.
3. 2×0.3413=0.6826입니다.

답: 약 0.6826

같이 풀어 보기 3오른쪽 꼬리

X∼N(50,4²)이다. P(X≥58)는? Φ(2)=0.9772를 이용한다.

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1. 58을 표준화하면 (58−50)/4=2입니다.
2. 오른쪽 꼬리는 1−Φ(2)입니다.
3. 1−0.9772=0.0228입니다.

답: 약 0.0228

같이 풀어 보기 4가운데 95% 구간

X∼N(30,5²)일 때 평균을 중심으로 약 95%를 포함하는 구간은? z=1.96을 쓴다.

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1. 표준 눈금의 양 끝은 −1.96과 1.96입니다.
2. 원래 눈금으로 되돌리면 30±1.96×5입니다.
3. 1.96×5=9.8입니다.

답: 약 [20.2, 39.8]

한 장 요약

1. 표준화 — Z = (X−μ) / σ
2. 구간 확률 — P(a≤X≤b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ)
3. 대칭 — Φ(−z)=1−Φ(z)