UNIT 04

이항정리

(a+b)ⁿ 을 전개하면 계수가 조합 ₙCᵣ 이 돼요. 괄호 n개 중 b 를 고를 괄호 r개를 뽑는 것이기 때문이에요.

고2어려움 ★★★★★약 90분#이항정리#이항계수#일반항#파스칼의 삼각형AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

(a+b)ⁿ 의 전개식에서 계수가 ₙCᵣ 이 되는 이유를 '괄호 고르기'로 설명한다.
일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ 으로 특정 항의 계수와 상수항을 구한다.
파스칼의 삼각형의 규칙 ₙ₋₁Cᵣ₋₁ + ₙ₋₁Cᵣ = ₙCᵣ 과 대각선 합의 성질을 쓴다.
이항계수의 합 2ⁿ · 0 · 2ⁿ⁻¹ 을 구하고 부분집합의 개수·나머지 문제에 쓴다.

앞에서 배운 것00 · 준비: 순열과 조합 다시 보기 →

문제 60개 풀기 ↓🖨 시험지 만들기 + 공부 계획표에 넣기

(a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유

이 개념 문제 13개 풀기 →

$n$ 개의 괄호에서 $b$ 를 고를 괄호 $r$ 개를 뽑는 방법이 $\nC{n}{r}$ 이므로, $a^{n-r} b^r$ 항은 $\nC{n}{r}$ 번 나와요.

\begin{aligned} &(a+b)^n \\ &= \nC{n}{0}\,a^n + \nC{n}{1}\,a^{n-1}b + \nC{n}{2}\,a^{n-2}b^2 \\ &\quad + \cdots + \nC{n}{r}\,a^{n-r}b^r + \cdots + \nC{n}{n}\,b^n \end{aligned}

이때 $\nC{n}{0}, \nC{n}{1}, \ldots, \nC{n}{n}$ 을 이항계수라 해요. 항은 모두 $n + 1$ 개이고, $a$ 의 지수와 $b$ 의 지수를 더하면 항상 $n$ 이에요.

0행1

1행11

2행121

3행1331

4행14641

5행15101051

(a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ — 계수 1, 5, 10, 10, 5, 1 은 파스칼의 삼각형 5행

직접 해 보기

전개식과 파스칼의 삼각형

n (거듭제곱)4

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

0행1

1행11

2행121

3행1331

4행14641

4행의 2번째 칸 6 은 바로 위 두 수 3 + 3 의 합 — 4C2 = 3C1 + 3C2

칸 고르기 (r = 0 ~ 4)r = 2

계수의 합 (a = b = 1) = 2^416

번갈아 더하고 빼기 (a = 1, b = −1)0

짝수 번째 합 = 홀수 번째 합 = 2^38

해 볼 것 · n 을 4 에서 8 까지 바꾸며 전개식의 계수가 삼각형의 n행과 같은지 봐요. '칸 고르기'로 한 칸을 고르면 바로 위 두 칸이 함께 표시돼요 — 그 둘을 더하면 고른 칸이 되나요?

같이 풀어 보기 1(a+b)⁴ 전개

$(a+b)^4$ 을 전개하세요.

▸ 풀이 보기

$\nC{4}{0} = 1$ , $\nC{4}{1} = 4$ , $\nC{4}{2} = 6$ , $\nC{4}{3} = 4$ , $\nC{4}{4} = 1$ 이므로 $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

같이 풀어 보기 2계수가 붙어 있을 때

$(2x - y)^3$ 을 전개하세요.

▸ 풀이 보기

$a = 2x$ , $b = -y$ 로 보고 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ 에 넣어요. $(2x)^3 + 3(2x)^2(-y) + 3(2x)(-y)^2 + (-y)^3 = 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$ 부호와 $2^k$ 가 계수에 함께 들어가는 것에 주의해요.

잠깐 퀴즈

$(a+b)^6$ 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는?

일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기

이 개념 문제 21개 풀기 →

전개식 전체를 쓰지 않고 원하는 항만 꺼내려면 일반항을 써요. $(a+b)^n$ 의 일반항은

\nC{n}{r}\,a^{n-r}\,b^r \quad (r = 0, 1, \ldots, n)

원하는 항의 차수를 보고 $r$ 을 정한 뒤 계수를 계산해요. 예를 들어 $(x + 2)^7$ 의 $x^4$ 의 계수는 $x^{7-r} = x^4$ 에서 $r = 3$ 이므로 $\nC{7}{3} \cdot 2^3 = 35 \times 8 = 280$ 이에요. $b$ 에 수나 부호가 붙어 있으면 $b^r$ 에 그대로 들어가요.

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^n$ 처럼 분모에 $x$ 가 있으면 일반항의 $x$ 의 지수를 식으로 써서 지수가 0이 되는 $r$ 을 찾으면 상수항이에요.

같이 풀어 보기 3특정 항의 계수

(1) $(x - 2)^5$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수, (2) $(2x + 1)^6$ 의 전개식에서 $x^4$ 의 계수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

(1) 일반항 $\nC{5}{r}\,x^{5-r}(-2)^r$ . $x^2$ 이려면 $r = 3$ : $\nC{5}{3}(-2)^3 = 10 \times (-8) = -80$ . (2) 일반항 $\nC{6}{r}(2x)^{6-r}\cdot 1^r$ . $x^4$ 이려면 $r = 2$ : $\nC{6}{2}\cdot 2^4 = 15 \times 16 = 240$ .

같이 풀어 보기 4상수항 찾기

$\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^6$ 의 전개식에서 상수항을 구하세요.

▸ 풀이 보기

일반항 $\nC{6}{r}(x^2)^{6-r}\left(\dfrac{1}{x}\right)^r = \nC{6}{r}\,x^{12-2r-r} = \nC{6}{r}\,x^{12-3r}$ . 상수항은 $12 - 3r = 0$ , 즉 $r = 4$ : $\nC{6}{4} = 15$ .

잠깐 퀴즈

$(x + 3)^4$ 의 전개식에서 $x^3$ 의 계수는?

파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질

이 개념 문제 11개 풀기 →

이항계수를 $n$ 행마다 늘어놓으면 파스칼의 삼각형이에요. 양 끝은 1 이고, 안쪽의 수는 바로 위 두 수의 합이에요.

\begin{gathered} \nC{n-1}{r-1} + \nC{n-1}{r} = \nC{n}{r} \\ \nC{n}{r} = \nC{n}{n-r} \end{gathered}

왜 그럴까요? $n$ 명 중 $r$ 명을 뽑을 때 특정한 한 사람 A 를 뽑는 경우( $\nC{n-1}{r-1}$ )와 뽑지 않는 경우( $\nC{n-1}{r}$ )로 나누면 되기 때문이에요. 대칭( $\nC{n}{r} = \nC{n}{n-r}$ )은 "뽑는 것 = 남기는 것"이고요.

0행₀C₀

1행₁C₀₁C₁

2행₂C₀₂C₁₂C₂

3행₃C₀₃C₁₃C₂₃C₃

4행₄C₀₄C₁₄C₂₄C₃₄C₄

5행₅C₀₅C₁₅C₂₅C₃₅C₄₅C₅

6행₆C₀₆C₁₆C₂₆C₃₆C₄₆C₅₆C₆

₆C₃ = ₅C₂ + ₅C₃ — 바로 위 두 칸의 합. 삼각형의 어느 칸이든 이 규칙으로 만들어져요.

대각선을 따라 더하면 그 아래 옆 칸이 돼요(하키 스틱 모양).

\begin{aligned} &\nC{r}{r} + \nC{r+1}{r} + \nC{r+2}{r} + \cdots + \nC{n}{r} \\ &= \nC{n+1}{r+1} \end{aligned}

예: $\nC{2}{2} + \nC{3}{2} + \nC{4}{2} + \nC{5}{2} = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 = \nC{6}{3}$ . 맨 위의 $\nC{r}{r} = 1$ 을 $\nC{r+1}{r+1}$ 로 바꿔 쓰고 위 두 수의 합 규칙을 차례로 쓰면 돼요.

같이 풀어 보기 5대각선 합

$\nC{3}{3} + \nC{4}{3} + \nC{5}{3} + \nC{6}{3} + \nC{7}{3}$ 의 값을 구하세요.

▸ 풀이 보기

$\nC{3}{3} = \nC{4}{4}$ 로 바꾸고 위 두 수의 합을 차례로 쓰면 $\nC{4}{4} + \nC{4}{3} = \nC{5}{4}$ , $\nC{5}{4} + \nC{5}{3} = \nC{6}{4}$ , … 마지막에 $\nC{8}{4}$ . $\nC{8}{4} = 70$ (직접 더해도 $1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70$ .)

잠깐 퀴즈

$\nC{9}{4} + \nC{9}{5}$ 와 같은 것은?

이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임

이 개념 문제 15개 풀기 →

이항정리에 수를 대입하면 이항계수들의 합이 나와요.

$a = b = 1$ : $\nC{n}{0} + \nC{n}{1} + \cdots + \nC{n}{n} = 2^n$
$a = 1, b = -1$ : $\nC{n}{0} - \nC{n}{1} + \nC{n}{2} - \cdots + (-1)^n \nC{n}{n} = 0$
두 식을 더하고 빼면: (짝수 번째 합) $=$ (홀수 번째 합) $= 2^{n-1}$

$2^n$ 은 원소가 $n$ 개인 집합의 부분집합의 개수이기도 해요 ( $r$ 개짜리 부분집합이 $\nC{n}{r}$ 개씩). 또 $(10 + 1)^n$ 처럼 쓰면 큰 수를 나눈 나머지도 구할 수 있어요: $11^{10} = (10+1)^{10} = 1 + \nC{10}{1}\cdot 10 + \nC{10}{2}\cdot 10^2 + \cdots$ 에서 $10^2$ 이 붙은 항부터는 100 의 배수이므로, 100 으로 나눈 나머지는 $1 + 100 = 101$ 을 100 으로 나눈 나머지 1 이에요.

같이 풀어 보기 6이항계수의 합

(1) $\nC{8}{0} + \nC{8}{1} + \cdots + \nC{8}{8}$ , (2) $\nC{8}{1} + \nC{8}{3} + \nC{8}{5} + \nC{8}{7}$ , (3) $\nC{8}{1} + \nC{8}{2} + \cdots + \nC{8}{8}$ 의 값을 구하세요.

▸ 풀이 보기

(1) $2^8 = 256$ . (2) 홀수 번째 합은 $2^{8-1} = 128$ . (3) 전체에서 $\nC{8}{0} = 1$ 을 빼요: $256 - 1 = 255$ .

같이 풀어 보기 7나머지 구하기

$11^{9}$ 을 100 으로 나눈 나머지를 구하세요.

▸ 풀이 보기

$11^9 = (10 + 1)^9 = \nC{9}{0} + \nC{9}{1}\cdot 10 + \nC{9}{2}\cdot 10^2 + \cdots + \nC{9}{9}\cdot 10^9$ . $10^2$ 이 붙은 항부터는 모두 100 의 배수이므로 나머지는 앞의 두 항 $1 + 9 \times 10 = 91$ 을 100 으로 나눈 나머지와 같아요: $91$ .

이 단원에서 자주 하는 실수

$b$ 에 붙은 수와 부호를 $b^r$ 에 넣지 않기 — $(x - 2)^5$ 에서 $(-2)^r$ 까지가 계수예요.
상수항을 찾을 때 $x$ 의 지수 식을 세우지 않고 "가운데 항"을 고르기 — 지수가 0 인 $r$ 을 계산해요.
$\nC{n}{r}$ 의 합을 구할 때 $\nC{n}{0} = 1$ 을 빼먹거나 더 넣기 — 어디부터 어디까지인지 확인해요.
대각선 합에서 시작하는 항을 $\nC{r}{r} = 1$ 로 두지 않기.

한 장 요약

이항정리 $(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \nC{n}{r}\,a^{n-r}b^r$ — 괄호 $n$ 개 중 $b$ 를 고를 $r$ 개를 뽑는 수가 계수.
일반항 $\nC{n}{r}\,a^{n-r}b^r$ — 원하는 항의 차수로 $r$ 을 정한다. $b$ 의 수·부호는 $b^r$ 에 들어간다.
파스칼의 삼각형 $\nC{n-1}{r-1} + \nC{n-1}{r} = \nC{n}{r}$ , $\nC{n}{r} = \nC{n}{n-r}$ , 대각선 합 $\nC{r}{r} + \cdots + \nC{n}{r} = \nC{n+1}{r+1}$ .
이항계수의 합 $2^n$ (모두), $0$ (번갈아), $2^{n-1}$ (짝수 번째 = 홀수 번째). 부분집합의 개수 $2^n$ , $(10+1)^n$ 으로 나머지 구하기.

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 확률과 통계 · 경우의 수 · 이항정리 (이항정리, 파스칼의 삼각형, 이항계수의 성질)

Practice

문제 풀기 60문제

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Q1몸풀기① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(a + b)^5$ 의 전개식에서 $a^2 b^3$ 의 계수를 구하세요.
답
Q2몸풀기① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(a + b)^7$ 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하세요.
답개
Q3몸풀기① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(x + 1)^4$ 을 전개한 것으로 옳은 것은?
Q4몸풀기② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(x + 2)^4$ 의 전개식에서 $x^3$ 의 계수를 구하세요.
답
Q5몸풀기② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(x + 1)^6$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q6몸풀기② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(2x + 1)^3$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q7몸풀기③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
$\nC{5}{2} + \nC{5}{3}$ 의 값을 구하세요.
0행1
1행11
2행121
3행1331
4행14641
5행15101051
6행1615201561
답
Q8몸풀기③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
$\nC{6}{2} + \nC{6}{3}$ 의 값을 구하세요.
답
Q9몸풀기④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$\nC{5}{0} + \nC{5}{1} + \nC{5}{2} + \nC{5}{3} + \nC{5}{4} + \nC{5}{5}$ 의 값을 구하세요.
답
Q10몸풀기④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$\nC{6}{0} - \nC{6}{1} + \nC{6}{2} - \nC{6}{3} + \nC{6}{4} - \nC{6}{5} + \nC{6}{6}$ 의 값을 구하세요.
답
Q11몸풀기④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
원소가 6개인 집합의 부분집합의 개수를 구하세요.
답개
Q12몸풀기① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(a - b)^4$ 의 전개식에서 $ab^3$ 의 계수는?
Q13기본① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(a + b)^8$ 의 전개식에서 $a^5 b^3$ 의 계수를 구하세요.
답
Q14기본① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(2a + b)^4$ 의 전개식에서 $a^2 b^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q15기본① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(a - 2b)^5$ 의 전개식에서 $a^3 b^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q16기본① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(x + y)^{10}$ 의 전개식에서 $x^7 y^3$ 의 계수를 구하세요.
답
Q17기본② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(x + 3)^5$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q18기본② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(x - 1)^7$ 의 전개식에서 $x^4$ 의 계수를 구하세요.
답
Q19기본② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(2x - 1)^5$ 의 전개식에서 $x^3$ 의 계수를 구하세요.
답
Q20기본② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(x^2 + 1)^5$ 의 전개식에서 $x^4$ 의 계수를 구하세요.
답
Q21기본② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기계단 1/5
$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^6$ 의 전개식에서 상수항을 구하세요.
답
Q22기본② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기계단 2/5
$\left(x + \dfrac{2}{x}\right)^4$ 의 전개식에서 상수항을 구하세요.
답
Q23기본③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
$\nC{9}{4} + \nC{9}{5}$ 의 값을 구하세요.
답
Q24기본③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
$\nC{2}{2} + \nC{3}{2} + \nC{4}{2} + \nC{5}{2} + \nC{6}{2}$ 의 값을 구하세요.
0행1
1행11
2행121
3행1331
4행14641
5행15101051
6행1615201561
7행172135352171
답
Q25기본③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
파스칼의 삼각형에서 (0행부터 세어) 8행에 적힌 수 중 가장 큰 수를 구하세요.
답
Q26기본④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$\nC{7}{1} + \nC{7}{2} + \nC{7}{3} + \cdots + \nC{7}{7}$ 의 값을 구하세요.
답
Q27기본④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$\nC{8}{0} + \nC{8}{2} + \nC{8}{4} + \nC{8}{6} + \nC{8}{8}$ 의 값을 구하세요.
답
Q28기본④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
원소가 7개인 집합의 부분집합 중 원소가 2개 이상인 것의 개수를 구하세요.
답개
Q29실력① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유계단 1/4
$(a + b)^n$ 의 전개식에서 $a^2 b^{n-2}$ 의 계수가 36 일 때, 자연수 $n$ 의 값을 구하세요.
답
Q30실력① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유계단 2/4
$(1 + x)^n$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수가 $x$ 의 계수의 3배일 때, 자연수 $n$ 의 값을 구하세요.
답
Q31실력② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$\left(x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^6$ 의 전개식에서 $x^3$ 의 계수를 구하세요.
답
Q32실력② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기계단 3/5
$\left(x + \dfrac{1}{x^2}\right)^9$ 의 전개식에서 상수항을 구하세요.
답
Q33실력② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(x + 2)(x + 1)^5$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q34실력② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(1 + x)^4 (1 + 2x)^3$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q35실력② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(x - 2)^6$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q36실력③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
$\nC{3}{3} + \nC{4}{3} + \nC{5}{3} + \cdots + \nC{10}{3}$ 의 값을 구하세요.
0행1
1행11
2행121
3행1331
4행14641
5행15101051
6행1615201561
7행172135352171
8행18285670562881
답
Q37실력③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
$\nC{11}{4} - \nC{10}{4}$ 의 값을 구하세요.
답
Q38실력③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
파스칼의 삼각형에서 (0행부터 세어) 10행에 적힌 11개의 수 중 홀수인 것의 개수를 구하세요.
답개
Q39실력④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$\nC{10}{1} + \nC{10}{3} + \nC{10}{5} + \nC{10}{7} + \nC{10}{9}$ 의 값을 구하세요.
답
Q40실력④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$\nC{6}{2} + \nC{6}{3} + \nC{6}{4}$ 의 값을 구하세요.
답
Q41실력④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$11^{9}$ 을 100 으로 나눈 나머지를 구하세요.
답
Q42실력④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$3^{10}$ 을 8 로 나눈 나머지를 구하세요.
답
Q43도전② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기계단 4/5
$\left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^6$ 의 전개식에서 상수항을 구하세요.
답
Q44도전② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(1 + x)^5 (1 - x)^4$ 의 전개식에서 $x^3$ 의 계수를 구하세요.
답
Q45도전① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유계단 3/4
$(1 + x)^n$ 의 전개식에서 $x^3$ 의 계수가 $x$ 의 계수의 7배일 때, 자연수 $n$ 의 값을 구하세요. ( $n \ge 3$ )
답
Q46도전③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질
파스칼의 삼각형에서 (0행부터 세어) $n$ 행에 적힌 수들의 합이 처음으로 1000 을 넘는 $n$ 의 값을 구하세요.
답
Q47도전③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질서술형 · 스스로 채점
파스칼의 삼각형의 규칙 $\nC{n-1}{r-1} + \nC{n-1}{r} = \nC{n}{r}$ 이 성립하는 이유를 " $n$ 명 중 $r$ 명을 뽑을 때 특정한 한 사람 A 를 뽑는 경우와 뽑지 않는 경우"로 나누어 설명하세요.
Q48도전④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$\nC{20}{0} + \nC{20}{2} + \nC{20}{4} + \cdots + \nC{20}{20}$ 의 값을 구하세요.
답
Q49도전④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
$\nC{9}{0} + \nC{9}{1}\cdot 2 + \nC{9}{2}\cdot 2^2 + \nC{9}{3}\cdot 2^3 + \cdots + \nC{9}{9}\cdot 2^9$ 의 값을 구하세요.
답
Q50도전② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기
$(x + a)^5$ 의 전개식에서 $x^3$ 의 계수가 90 일 때, 양수 $a$ 의 값을 구하세요.
답
Q51도전④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임
집합 $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ 의 부분집합 중 원소가 3개 이상인 것의 개수를 구하세요.
답개
Q52도전① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유
$(a + b + c)^4$ 의 전개식에서 $a^2 bc$ 의 계수를 구하세요.
답
Q53실전 · 3점② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기수능·모의평가 · 특정 항의 계수 (일반항) · 변형 유형
$(x + 2)^6$ 의 전개식에서 $x^4$ 의 계수는?
Q54실전 · 3점② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기계단 5/5수능·모의평가 · 분수 꼴이 있는 전개식의 특정 항 · 변형 유형
$\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^7$ 의 전개식에서 $x^5$ 의 계수는?
Q55실전 · 3점④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임수능·모의평가 · 이항계수의 합 · 변형 유형
$\nC{12}{1} + \nC{12}{2} + \nC{12}{3} + \cdots + \nC{12}{12}$ 의 값은?
Q56실전 · 4점③ 파스칼의 삼각형과 이항계수의 성질수능·모의평가 · 파스칼의 삼각형 대각선 합 · 변형 유형
$\nC{4}{4} + \nC{5}{4} + \nC{6}{4} + \nC{7}{4} + \nC{8}{4} + \nC{9}{4}$ 의 값은?
0행1
1행11
2행121
3행1331
4행14641
5행15101051
6행1615201561
7행172135352171
8행18285670562881
9행193684126126843691
Q57실전 · 3점② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기계단 4/4수능·모의평가 · 계수 조건으로 n 구하기 · 변형 유형
$(x + 1)^n$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수가 28 일 때, 자연수 $n$ 의 값을 구하세요.
답
Q58실전 · 3점② 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ — 원하는 항만 꺼내기수능·모의평가 · 두 항의 계수 더하기 · 변형 유형
$(2x + 1)^5$ 의 전개식에서 $x^3$ 의 계수를 $a$ , $x^2$ 의 계수를 $b$ 라 할 때, $a + b$ 의 값을 구하세요.
답
Q59실전 · 4점① (a+b)ⁿ 의 전개 — 계수가 조합이 되는 이유수능·모의평가 · 전개식의 합에서 특정 항의 계수 (대각선 합) · 변형 유형
$(1 + x)^3 + (1 + x)^4 + (1 + x)^5 + \cdots + (1 + x)^8$ 의 전개식에서 $x^2$ 의 계수를 구하세요.
답
Q60실전 · 4점④ 이항계수의 합 — 2ⁿ, 0, 2ⁿ⁻¹ 과 그 쓰임수능·모의평가 · 이항정리로 거듭제곱의 나머지 구하기 · 변형 · 그보다 어렵게 유형
$31^{12}$ 을 100 으로 나눈 나머지를 구하세요.
답

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