UNIT 10

확률변수와 확률분포, 기댓값과 표준편차

시행의 결과에 수를 붙이면 확률변수, 그 값과 확률을 짝지은 표가 확률분포예요. 평균(기댓값)은 무게중심, 분산·표준편차는 퍼진 정도예요.

고2어려움 ★★★★★약 90분#확률변수#확률분포#기댓값#분산Claude Opus 5.5 로 씀AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

이산확률변수의 뜻을 알고, 확률분포를 표로 나타낸다 (확률의 합은 1).
기댓값(평균) E(X) 를 구하고 그 뜻(무게중심, 오래 했을 때의 평균)을 설명한다.
분산 V(X) = E(X²) − {E(X)}² 과 표준편차 σ(X) 를 구한다.
Y = aX + b 의 평균·분산·표준편차를 X 의 값으로 구한다.

앞에서 배운 것09 · 독립시행의 확률 →05 · 확률의 뜻과 기본 성질 →

문제 60개 풀기 ↓🖨 시험지 만들기 + 공부 계획표에 넣기

확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기

이 개념 문제 15개 풀기 →

시행의 결과에 따라 값이 정해지는 변수를 확률변수라 해요. 동전 3개를 던져 앞면의 개수를 $X$ 라 하면 $X$ 는 0, 1, 2, 3 중 하나의 값을 가져요. 이처럼 값을 셀 수 있는(떨어진) 확률변수를 이산확률변수라 해요.

$X$ 가 갖는 값과 그 값을 가질 확률을 짝지은 것을 $X$ 의 확률분포라 해요. $X = x$ 일 확률은 $P(X = x)$ 로 써요.

X	0	1	2	3	합계
P(X = x)	18	38	38	18	1

동전 3개의 앞면 수 X — 결과 8가지 중 앞면이 1개인 것은 3가지라 P(X = 1) = 3/8

확률분포에서는 늘 다음이 성립해요.

\begin{gathered} 0 \le P(X = x_i) \le 1 \\ \sum_{i} P(X = x_i) = 1 \end{gathered}

여러 값에 걸친 확률은 더해요. 예를 들어 $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$ 이에요.

같이 풀어 보기 1두 개의 동전

동전 2개를 동시에 던질 때 앞면의 개수를 $X$ 라 해요. $X$ 의 확률분포를 표로 나타내고 $P(X \ge 1)$ 을 구하세요.

▸ 풀이 보기

결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤의 4가지예요. $P(X = 0) = \dfrac{1}{4}$ , $P(X = 1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ , $P(X = 2) = \dfrac{1}{4}$ 이고 합은 1 이에요.

$P(X \ge 1) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ (또는 $1 - P(X = 0) = \dfrac{3}{4}$ )

같이 풀어 보기 2표에 모르는 수가 있을 때

X	1	2	3	4	합계
P(X = x)	a	2a	3a	4a	1

확률변수 $X$ 의 확률분포가 위와 같을 때, 상수 $a$ 의 값과 $P(X \le 2)$ 를 구하세요.

▸ 풀이 보기

확률의 합이 1 이므로 $a + 2a + 3a + 4a = 10a = 1$ , $a = \dfrac{1}{10}$ 이에요.

$P(X \le 2) = a + 2a = 3a = \dfrac{3}{10}$

잠깐 퀴즈

다음 중 확률분포표의 둘째 줄(확률)이 될 수 없는 것은?

기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)

이 개념 문제 15개 풀기 →

확률변수 $X$ 가 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 을 각각 확률 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 으로 가질 때

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

을 $X$ 의 기댓값 또는 평균이라 하고 $m$ 으로도 써요. 막대그래프로 그리면 기댓값은 막대들이 균형을 이루는 무게중심이에요. 또 시행을 아주 많이 되풀이하면 $X$ 의 값들의 평균이 기댓값에 가까워져요.

동전 3개의 앞면 수 — 막대가 좌우 대칭이라 무게중심(▲)은 가운데 3/2 이에요.

직접 해 보기

확률분포 만들기

X	0	1	2	3	합계
P(X = x)	18	38	38	18	1

값마다 무게(칸 수)를 정하면 확률 = 무게 ÷ 8 — 모두 더하면 1

X = 01

X = 13

X = 23

X = 31

▲ = 평균 E(X) — 막대의 무게중심이에요

E(X) = Σ x·P(X = x)3/2 ≈ 1.5

E(X²)3

V(X) = E(X²) − {E(X)}²3/4 ≈ 0.75

σ(X) = √V(X)≈ 0.866

Y = aX + b 의 aa = 1Y = aX + b 의 bb = 0

E(Y) = E(X)3/2

V(Y) = V(X)3/4

σ(Y) = σ(X)≈ 0.866

b 를 바꾸면 평균만 움직이고 흩어진 정도(V, σ)는 그대로예요. a 를 바꾸면 분산은 a² 배, 표준편차는 |a| 배가 돼요.

해 볼 것 · '동전 3개의 앞면 수'에서 X = 3 의 무게를 늘려 보세요. ▲(평균)이 오른쪽으로 움직여요. '직접 만들기'에서 가운데만 무겁게, 양 끝만 무겁게 바꾸면 평균은 같아도 분산이 크게 달라져요.

같이 풀어 보기 3주사위 눈의 평균

주사위 한 개를 던져 나온 눈을 $X$ 라 할 때, $E(X)$ 를 구하세요.

▸ 풀이 보기

$E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}$

$X$ 가 $\dfrac{7}{2}$ 이 되는 일은 없지만, 아주 많이 던지면 나온 눈의 평균은 $\dfrac{7}{2}$ 에 가까워져요.

같이 풀어 보기 4게임의 상금

주사위를 한 번 던져 6 의 눈이 나오면 1200원, 4 또는 5 의 눈이 나오면 300원을 받고, 그 밖에는 받지 못하는 게임이 있어요. 받는 상금의 기댓값을 구하세요.

▸ 풀이 보기

상금을 $X$ 원이라 하면 $P(X = 1200) = \dfrac{1}{6}$ , $P(X = 300) = \dfrac{2}{6}$ , $P(X = 0) = \dfrac{3}{6}$ 이에요.

$E(X) = 1200 \times \dfrac{1}{6} + 300 \times \dfrac{2}{6} + 0 = 200 + 100 = 300$ (원)

분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나

이 개념 문제 15개 풀기 →

평균이 같아도 값이 평균 가까이에 모인 분포가 있고, 멀리 퍼진 분포가 있어요.

가운데에 모인 분포 — 분산 0.8

양 끝으로 퍼진 분포 — 평균은 같지만 분산 2.6

퍼진 정도는 '평균에서 떨어진 거리의 제곱' 의 평균으로 재요. $E(X) = m$ 일 때

\begin{aligned} V(X) &= E\big((X - m)^2\big) \\ &= \sum_{i} (x_i - m)^2 p_i \end{aligned}

를 분산, 그 양의 제곱근 $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ 를 표준편차라 해요. 표준편차는 $X$ 와 단위가 같아요. 계산은 보통 다음 식이 편해요.

V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2

같이 풀어 보기 5동전 3개의 분산

동전 3개의 앞면 수 $X$ 의 분산과 표준편차를 구하세요.

▸ 풀이 보기

$E(X) = \dfrac{3}{2}$ , $E(X^2) = 0 \times \dfrac{1}{8} + 1 \times \dfrac{3}{8} + 4 \times \dfrac{3}{8} + 9 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ 이에요.

$V(X) = 3 - \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}$ , $\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

잠깐 퀴즈

$E(X) = 3$ , $E(X^2) = 13$ 일 때 $\sigma(X)$ 는?

Y = aX + b 의 평균과 분산

이 개념 문제 15개 풀기 →

모든 값에 $b$ 를 더하면 분포가 통째로 옆으로 옮겨 가요 — 평균은 $b$ 만큼 커지지만 퍼진 정도는 그대로예요. 모든 값을 $a$ 배 하면 평균에서 떨어진 거리도 $|a|$ 배가 되어 분산은 $a^2$ 배가 돼요.

\begin{gathered} E(aX + b) = aE(X) + b \\ V(aX + b) = a^2\,V(X) \\ \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X) \end{gathered}

같이 풀어 보기 6점수 바꾸기

확률변수 $X$ 의 평균이 4, 분산이 2 일 때, $E(3X + 2)$ , $V(3X + 2)$ , $\sigma(-2X + 1)$ 을 구하세요.

▸ 풀이 보기

$E(3X + 2) = 3 \times 4 + 2 = 14$ , $V(3X + 2) = 3^2 \times 2 = 18$ .

$\sigma(X) = \sqrt{2}$ 이므로 $\sigma(-2X + 1) = |-2| \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

같이 풀어 보기 7거꾸로 구하기

확률변수 $X$ 에 대하여 $Y = 2X - 3$ 의 평균이 5, 분산이 16 이에요. $E(X^2)$ 을 구하세요.

▸ 풀이 보기

$E(Y) = 2E(X) - 3 = 5$ 에서 $E(X) = 4$ , $V(Y) = 4V(X) = 16$ 에서 $V(X) = 4$ 예요.

$E(X^2) = V(X) + \{E(X)\}^2 = 4 + 16 = 20$

잠깐 퀴즈

$V(X) = 5$ 일 때 $V(-X + 7)$ 은?

이 단원에서 자주 하는 실수

확률분포표에서 확률의 합이 1 인지 확인하지 않기 — 모르는 수 $a$ 는 대개 이 조건으로 구해요.
$V(X) = E(X^2) - E(X)$ 로 쓰기 — 빼는 것은 평균의 제곱 $\{E(X)\}^2$ 이에요.
$V(aX + b) = aV(X) + b$ 로 쓰기 — 분산은 $a^2$ 배, $b$ 는 사라져요.
$\sigma(-2X) = -2\sigma(X)$ 로 쓰기 — 표준편차는 늘 0 이상이라 $|a|$ 배예요.

한 장 요약

확률변수 $X$ 의 확률분포: 값과 확률의 표. $0 \le P(X = x) \le 1$ , 확률의 합은 1.
기댓값(평균) $E(X) = \sum x_i p_i$ — 막대그래프의 무게중심.
분산 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ , 표준편차 $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .
$E(aX + b) = aE(X) + b$ , $V(aX + b) = a^2 V(X)$ , $\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$ .

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 확률과 통계 · 통계 · 확률변수와 확률분포, 이산확률변수의 기댓값과 표준편차

Practice

문제 풀기 60문제

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Q1몸풀기① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기
동전 2개를 동시에 던질 때 앞면의 개수를 $X$ 라 해요. $P(X = 1)$ 을 구하세요.
답
Q2몸풀기① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기계단 1/6
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, 상수 $a$ 의 값을 구하세요.
X 1 2 3 합계
P(X = x) 13 12 a 1
답
Q3몸풀기② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $E(X)$ 를 구하세요.
X 0 1 2 합계
P(X = x) 14 12 14 1
답
Q4몸풀기② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $E(X)$ 를 구하세요.
X 1 2 3 합계
P(X = x) 0.2 0.5 0.3 1
답
Q5몸풀기③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나
확률변수 $X$ 에 대하여 $E(X) = 2$ , $E(X^2) = 7$ 일 때, $V(X)$ 를 구하세요.
답
Q6몸풀기③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나
확률변수 $X$ 의 분산이 9 일 때, 표준편차 $\sigma(X)$ 를 구하세요.
답
Q7몸풀기④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 의 평균이 5 일 때, $E(2X + 3)$ 을 구하세요.
답
Q8몸풀기④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 의 분산이 4 일 때, $V(3X - 1)$ 을 구하세요.
답
Q9몸풀기④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 의 표준편차가 2 일 때, $\sigma(-3X + 5)$ 를 구하세요.
답
Q10몸풀기① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기
확률변수 $X$ 가 갖는 값 세 개(또는 네 개)의 확률을 차례로 적은 것이에요. 확률분포가 될 수 없는 것은?
Q11몸풀기② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
1, 2, 3, 4 가 하나씩 적힌 카드 4장 중에서 한 장을 뽑을 때 적힌 수를 $X$ 라 해요. $E(X)$ 를 구하세요.
답
Q12몸풀기① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기
확률변수 $X$ 가 갖는 값이 1, 2, 3, 4 이고 $P(X = x) = \dfrac{x}{10}$ 일 때, $P(X \ge 3)$ 을 구하세요.
답
Q13기본① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기계단 1/4
동전 4개를 동시에 던질 때 앞면의 개수를 $X$ 라 해요. $P(1 \le X \le 2)$ 를 구하세요.
답
Q14기본① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기계단 2/6
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $P(1 \le X \le 2)$ 를 구하세요.
X 0 1 2 3 합계
P(X = x) a 2a 3a 4a 1
답
Q15기본② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)계단 2/4
동전 4개를 동시에 던질 때 앞면의 개수 $X$ 의 기댓값을 구하세요.
답
Q16기본② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
주사위를 한 번 던져 6 의 눈이 나오면 600원, 4 또는 5 의 눈이 나오면 300원을 받고, 그 밖에는 받지 못하는 게임이 있어요. 받는 상금의 기댓값을 구하세요.
답원
Q17기본③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $V(X)$ 를 구하세요.
X 0 1 2 합계
P(X = x) 14 12 14 1
답
Q18기본③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나계단 3/4
동전 4개를 동시에 던질 때 앞면의 개수 $X$ 의 분산을 구하세요.
답
Q19기본③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $V(X)$ 를 구하세요.
X 1 2 3 합계
P(X = x) 0.3 0.4 0.3 1
답
Q20기본④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 에 대하여 $E(X) = 2$ , $V(X) = 3$ 일 때, $V(4X - 1)$ 을 구하세요.
답
Q21기본③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나
확률변수 $X$ 에 대하여 $E(X) = 2$ , $V(X) = 3$ 일 때, $E(X^2)$ 을 구하세요.
답
Q22기본① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기계단 1/3
흰 공 2개와 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 흰 공의 개수를 $X$ 라 해요. $P(X = 1)$ 을 구하세요.
답
Q23기본② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)계단 2/3
흰 공 2개와 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 흰 공의 개수 $X$ 의 기댓값을 구하세요.
답
Q24기본③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나계단 3/3
흰 공 2개와 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 흰 공의 개수 $X$ 의 분산을 구하세요.
답
Q25기본④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 의 평균이 10, 표준편차가 2 일 때, $Y = 3X + 5$ 의 평균과 표준편차의 합을 구하세요.
답
Q26기본② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $E(X)$ 를 구하세요.
X -1 0 1 2 합계
P(X = x) 0.1 0.2 0.3 0.4 1
답
Q27기본① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기
확률변수 $X$ 가 갖는 값이 1, 2, 3 이고 $P(X = x) = kx^2$ 일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하세요.
답
Q28기본④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 에 대하여 $E(X) = 3$ , $V(X) = 2$ 이고 $Y = -2X + 7$ 일 때, $E(Y) + V(Y)$ 를 구하세요.
답
Q29실력① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기
두 개의 주사위를 동시에 던져 나온 두 눈의 차(큰 수에서 작은 수를 뺀 값)를 $X$ 라 해요. $P(X \le 1)$ 을 구하세요.
답
Q30실력② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
두 개의 주사위를 동시에 던져 나온 두 눈의 차(큰 수에서 작은 수를 뺀 값)를 $X$ 라 해요. $E(X)$ 를 구하세요.
답
Q31실력③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나계단 3/6
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같고 $E(X) = 1$ 일 때, $V(X)$ 를 구하세요.
X 0 1 2 합계
P(X = x) a b 13 1
답
Q32실력④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 에 대하여 $Y = 3X + 1$ 의 평균이 10, 분산이 18 이에요. $E(X^2)$ 을 구하세요.
답
Q33실력② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
복권 1000장 중에 10000원짜리 1장, 1000원짜리 10장, 100원짜리 100장이 당첨이고 나머지는 꽝이에요. 복권 한 장을 살 때 당첨금의 기댓값을 구하세요.
답원
Q34실력① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기계단 1/4
1, 2, 3, 4, 5 가 하나씩 적힌 카드 5장 중에서 2장을 동시에 뽑을 때, 뽑힌 수 중 큰 수를 $X$ 라 해요. $P(X = 4)$ 를 구하세요.
답
Q35실력② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)계단 2/4
1, 2, 3, 4, 5 가 하나씩 적힌 카드 5장 중에서 2장을 동시에 뽑을 때, 뽑힌 수 중 큰 수 $X$ 의 기댓값을 구하세요.
답
Q36실력③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나계단 3/4
1, 2, 3, 4, 5 가 하나씩 적힌 카드 5장 중에서 2장을 동시에 뽑을 때, 뽑힌 수 중 큰 수 $X$ 의 분산을 구하세요.
답
Q37실력④ Y = aX + b 의 평균과 분산계단 4/4
1, 2, 3, 4, 5 가 하나씩 적힌 카드 5장 중에서 2장을 동시에 뽑을 때, 뽑힌 수 중 큰 수를 $X$ 라 해요. $\sigma(-5X + 2)$ 를 구하세요.
답
Q38실력④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 에 대한 다음 식 중 항상 옳은 것은?
Q39실력② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
동전 4개를 동시에 던져 앞면이 3개 이상 나오면 1000원을 받고, 그렇지 않으면 받지 못하는 게임이 있어요. 받는 금액의 기댓값을 구하세요.
답원
Q40실력① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기계단 4/6
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같고 $E(X) = 2.6$ 일 때, $P(X \le 2)$ 를 구하세요.
X 1 2 3 4 합계
P(X = x) 0.1 a b 0.2 1
답
Q41실력④ Y = aX + b 의 평균과 분산
어느 시험의 점수 $X$ 의 평균이 60점, 표준편차가 10점이에요. 모든 점수를 $Y = 1.5X + 10$ 으로 바꿀 때, $Y$ 의 평균과 표준편차의 합을 구하세요.
답
Q42실력③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나
흰 공 3개와 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 공 3개를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 흰 공의 개수 $X$ 의 분산을 구하세요.
답
Q43도전① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기
1, 2, 3, 4 가 하나씩 적힌 공 4개가 들어 있는 주머니에서 공 하나를 꺼내 수를 확인하고 다시 넣는 일을 2번 할 때, 두 수의 곱을 $X$ 라 해요. $P(X \ge 6)$ 을 구하세요.
답
Q44도전④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 가 갖는 값이 0, 1, 2, 3 이고 $P(X = x) = \dfrac{x + 1}{10}$ 일 때, $\sigma(3X + 1)$ 을 구하세요.
답
Q45도전③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나
주사위를 한 번 던져 짝수의 눈이 나오면 동전을 2번, 홀수의 눈이 나오면 동전을 1번 던져요. 동전의 앞면이 나온 횟수를 $X$ 라 할 때, $V(X)$ 를 구하세요.
답
Q46도전④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 의 평균이 50, 표준편차가 10 이에요. $Y = aX + b$ $(a > 0)$ 의 평균이 0, 표준편차가 1 이 되도록 하는 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 $a - b$ 의 값을 구하세요.
답
Q47도전② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
1부터 $n$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 카드 $n$ 장 중에서 한 장을 뽑을 때, 적힌 수의 기댓값이 8 이에요. 자연수 $n$ 의 값을 구하세요.
답
Q48도전③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나서술형 · 스스로 채점
$E(X) = m$ 일 때 $V(X) = E\big((X - m)^2\big) = E(X^2) - m^2$ 이 되는 까닭을 $\sum (x_i - m)^2 p_i$ 를 전개해서 설명하고, 동전 2개의 앞면 수로 두 방법의 값이 같은지 확인하세요.
Q49도전② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)
주사위를 던져 6 의 눈이 나오면 멈추되, 6 이 나오지 않아도 3번째에는 멈춰요. 주사위를 던진 횟수를 $X$ 라 할 때, $E(X)$ 를 구하세요.
답
Q50도전① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기
확률변수 $X$ 가 갖는 값이 1, 2, 3, 4 이고 $P(X = x) = \dfrac{a}{x(x + 1)}$ 일 때, $P(X = 1)$ 을 구하세요. (단, $a$ 는 상수)
답
Q51도전④ Y = aX + b 의 평균과 분산
확률변수 $X$ 가 1, 2, 3, 4, 5 를 같은 확률 $\dfrac{1}{5}$ 로 가져요. $Y = aX + b$ $(a > 0)$ 의 평균이 20, 분산이 18 일 때, $a + b$ 의 값을 구하세요.
답
Q52도전③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나계단 5/6
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같고 $V(X) = \dfrac{1}{2}$ 일 때, $b$ 의 값을 구하세요.
X -1 0 1 합계
P(X = x) a b a 1
답
Q53실전 · 2점② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)수능·모의평가 · 확률분포표에서 평균 구하기 · 변형 유형
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $E(X)$ 의 값은?
X 1 2 3 합계
P(X = x) 12 13 16 1
Q54실전 · 3점④ Y = aX + b 의 평균과 분산수능·모의평가 · E(X²)로 분산 구해 aX+b 의 분산 · 변형 유형
확률변수 $X$ 에 대하여 $E(X) = 3$ , $E(X^2) = 11$ 일 때, $V(2X + 1)$ 의 값은?
Q55실전 · 3점① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기계단 6/6수능·모의평가 · 확률분포표의 미지수 · 변형 유형
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $P(X \ge 2)$ 의 값은?
X 1 2 3 4 합계
P(X = x) a 13 a 16 1
Q56실전 · 3점③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나수능·모의평가 · 확률분포표에서 분산 · 변형 유형
확률변수 $X$ 의 확률분포가 표와 같을 때, $V(3X - 2)$ 의 값은?
X 0 2 4 합계
P(X = x) 14 12 14 1
Q57실전 · 4점④ Y = aX + b 의 평균과 분산수능·모의평가 · 확률을 식으로 준 분포의 분산 · 변형 유형
확률변수 $X$ 가 갖는 값이 1, 2, 3, 4, 5 이고 $P(X = x) = \dfrac{x}{15}$ 일 때, $V(3X + 2)$ 의 값을 구하세요.
답
Q58실전 · 4점② 기댓값(평균) — E(X) = Σ x·P(X = x)계단 4/4수능·모의평가 · 점수가 확률변수의 일차식인 게임 · 변형 유형
동전 4개를 동시에 던져 앞면 하나에 1점을 얻고 뒷면 하나에 1점을 잃는 게임이 있어요. 얻는 점수의 평균과 분산의 합을 구하세요.
답
Q59실전 · 3점① 확률변수와 확률분포 — 결과에 수를 붙이기수능·모의평가 · 가장 작은 수의 확률분포 (p+q) · 변형 유형
1, 2, 3, 4, 5 가 하나씩 적힌 카드 5장 중에서 3장을 동시에 뽑을 때, 뽑힌 수 중 가장 작은 수를 $X$ 라 해요. $P(X \le 2) = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p + q$ 의 값을 구하세요. (단, $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수)
답
Q60실전 · 4점③ 분산과 표준편차 — 평균에서 얼마나 퍼졌나수능·모의평가 · 비복원 추출 횟수의 분산 (p+q) · 변형 · 그보다 어렵게 유형
흰 공 3개와 검은 공 2개가 들어 있는 주머니에서 공을 한 개씩 꺼내되(꺼낸 공은 다시 넣지 않음) 흰 공이 나오면 멈춰요. 공을 꺼낸 횟수를 $X$ 라 할 때, $V(X) = \dfrac{q}{p}$ 예요. $p + q$ 의 값을 구하세요. (단, $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수)
답

X	1	2	3	합계
P(X = x)	13	12	a	1

X	0	1	2	합계
P(X = x)	14	12	14	1

X	1	2	3	합계
P(X = x)	0.2	0.5	0.3	1

X	0	1	2	합계
P(X = x)	14	12	14	1

X	1	2	3	합계
P(X = x)	0.3	0.4	0.3	1

X	-1	0	1	2	합계
P(X = x)	0.1	0.2	0.3	0.4	1

X	0	1	2	합계
P(X = x)	a	b	13	1

X	-1	0	1	합계
P(X = x)	a	b	a	1

X	1	2	3	합계
P(X = x)	12	13	16	1

X	0	2	4	합계
P(X = x)	14	12	14	1

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