UNIT 03

중복조합

같은 종류를 여러 개 골라도 되고 순서는 상관없을 때, ○와 | 를 한 줄로 늘어놓으면 조합 하나로 셀 수 있어요.

고2어려움 ★★★★★약 90분#중복조합#방정식의 해#음이 아닌 정수해#함수의 개수AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

중복조합 ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ 을 ○와 | 의 배열로 설명하고 계산한다.
방정식 x + y + z = n 의 음이 아닌 정수해와 양의 정수해의 개수를 중복조합으로 구한다.
f(1) ≤ f(2) ≤ f(3) 처럼 크기 순서가 정해진 함수의 개수를 중복조합으로 센다.
'적어도 하나씩', '어떤 종류는 몇 개 이상·이하' 같은 조건이 있는 분배 문제를 푼다.

앞에서 배운 것00 · 준비: 순열과 조합 다시 보기 →01 · 중복순열 →

문제 60개 풀기 ↓🖨 시험지 만들기 + 공부 계획표에 넣기

종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열

이 개념 문제 15개 풀기 →

서로 다른 $n$ 종류에서 중복을 허용하여 순서 없이 $r$ 개를 고르는 것을 중복조합이라 하고 $\nH{n}{r}$ 로 써요. 고른 결과는 "종류별 개수"이고, 이것을 ○ $r$ 개와 종류를 나누는 칸막이 | $(n-1)$ 개의 한 줄로 그릴 수 있어요. 그러면 전체 $(n + r - 1)$ 자리 중 | 를 놓을 $(n-1)$ 자리를 고르는 조합이에요.

\nH{n}{r} = \nC{n+r-1}{n-1} = \nC{n+r-1}{r}

○○

사과 2

○

배 1

○○

감 2

○○|○|○○

사과 2·배 1·감 2 를 고른 것 = ○○|○|○○. ○ 5개 + | 2개 = 7자리 중 | 의 자리 2개 → ₃H₅ = ₇C₂ = 21

밑 $n$ 은 종류의 수, $r$ 은 고르는 개수예요. $r$ 이 $n$ 보다 커도 되고(사탕 3종류에서 10개), ○ 가 하나도 없는 종류(빈 상자)가 있어도 돼요.

직접 해 보기

○를 상자에 넣고 한 줄로 펴기

고를 개수 r5개

○○

사과 2

○○

배 2

○

감 1

○○|○○|○

○ 5개와 | 2개 — 이 한 줄이 '고른 결과' 하나예요

사과2

배2

감1

한 줄의 길이 (○ + |)5 + 2 = 7

| 를 놓을 자리 고르기 7C221

3H5 (고르는 방법의 수)21

모든 경우 21가지 — 지금 상자의 것은 진하게

||○○○○○|○|○○○○|○○|○○○|○○○|○○|○○○○|○|○○○○○|○||○○○○○|○|○○○○|○○|○○○|○○○|○○|○○○○|○○||○○○○○|○|○○○○|○○|○○○|○○○|○○○||○○○○○|○|○○○○|○○|○○○○||○○○○○|○|○○○○○||

해 볼 것 · 종류 3·개수 5 에서 + 단추로 과일을 나눠 담고, 아래 ○| 한 줄이 어떻게 바뀌는지 봐요. 모든 경우 21가지 중 지금 것이 진하게 표시돼요. 종류를 4로 바꾸면 | 가 3개가 돼요.

같이 풀어 보기 1사탕 고르기

딸기맛, 포도맛, 레몬맛 사탕이 충분히 많이 있어요. 이 중 6개를 고르는 경우의 수를 구하세요. (같은 맛을 여러 개 골라도 되고, 고르는 순서는 상관없어요.)

▸ 풀이 보기

3종류에서 6개를 중복 허용해 고르기: $\nH{3}{6} = \nC{8}{2} = 28$ (가지) ○ 6개와 | 2개의 배열 8자리 중 | 의 자리 2개를 고른 것이에요. (순서까지 따지는 중복순열 $3^6 = 729$ 와는 다른 질문이에요.)

같이 풀어 보기 2같은 공과 다른 공

(1) 서로 같은 공 5개를 상자 A, B, C 에 넣는 경우의 수와 (2) 서로 다른 공 5개를 상자 A, B, C 에 넣는 경우의 수를 각각 구하세요. (빈 상자가 있어도 돼요.)

▸ 풀이 보기

(1) 같은 공은 "상자별 개수"만 정하면 되니 중복조합: $\nH{3}{5} = \nC{7}{2} = 21$ (가지). (2) 다른 공은 공마다 상자를 고르니 중복순열: $3^5 = 243$ (가지). 공이 같은지 다른지를 먼저 확인하는 것이 이 단원의 첫 번째 질문이에요.

잠깐 퀴즈

$\nH{2}{3}$ 의 값은?

방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해

이 개념 문제 17개 풀기 →

$x + y + z = 6$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x, y, z$ 의 순서쌍은 "○ 6개를 $x, y, z$ 세 상자에 나눠 담기"와 같아요. 그래서

\begin{gathered} (\text{음이 아닌 정수해의 개수}) \\ = \nH{3}{6} = \nC{8}{2} = 28 \end{gathered}

양의 정수해(모두 1 이상)는 먼저 각 상자에 1개씩 넣어 두고 나머지를 나눠요. $x = x' + 1$ 처럼 바꾸면 $x' + y' + z' = 3$ 의 음이 아닌 정수해 $\nH{3}{3} = \nC{5}{2} = 10$ 개예요. " $x \ge 2$ " 같은 조건도 먼저 2개를 넣어 두면 돼요.

○

x 1

○○○○

y 4

○

z 1

○|○○○○|○

x + y + z = 6 의 해 (1, 4, 1) = ○|○○○○|○. 양의 정수해는 상자마다 ○ 하나씩 먼저 넣고 남은 3개만 나눈다.

부등식 $x + y + z \le 6$ 은 "남는 양"을 담을 상자 $w$ 를 하나 더 두어 $x + y + z + w = 6$ 으로 바꿔요: $\nH{4}{6} = \nC{9}{3} = 84$ .

같이 풀어 보기 3해의 개수

방정식 $x + y + z = 8$ 에 대하여 (1) 음이 아닌 정수해의 개수, (2) 양의 정수해의 개수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

(1) $\nH{3}{8} = \nC{10}{2} = 45$ (개). (2) 각 문자에 1 씩 먼저 주고 남은 5 를 나눠요: $\nH{3}{5} = \nC{7}{2} = 21$ (개).

같이 풀어 보기 4조건이 다른 변수

방정식 $x + y + z + w = 10$ 을 만족시키는 정수해 중 $x \ge 1$ , $y \ge 2$ , $z \ge 0$ , $w \ge 0$ 인 것의 개수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

$x$ 에 1, $y$ 에 2 를 먼저 주면 남은 양은 $10 - 3 = 7$ . $x' + y' + z + w = 7$ 의 음이 아닌 정수해: $\nH{4}{7} = \nC{10}{3} = 120$ (개)

잠깐 퀴즈

$x + y + z = 5$ 의 양의 정수해의 개수는?

크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)

이 개념 문제 13개 풀기 →

$X = \{1, 2, 3\}$ 에서 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 로의 함수 중 $f(1) \le f(2) \le f(3)$ 인 것은, $Y$ 에서 중복을 허용해 값 3개를 고르면 작은 것부터 $f(1), f(2), f(3)$ 에 넣는 방법이 하나로 정해져요. 그래서 개수는 $\nH{5}{3} = \nC{7}{3} = 35$ 예요.

등호가 없는 $f(1) < f(2) < f(3)$ 은 서로 다른 값 3개를 고르는 조합 $\nC{5}{3} = 10$ 이고, 조건이 없으면 중복순열 $5^3 = 125$ 예요.

f(1) = f(2) = 2, f(3) = 4 — 값 {2, 2, 4} 를 중복 허용해 고르면 작은 순서로 넣는 방법은 하나뿐. ₅H₃ = 35

조건	세는 방법	$X$ 3개 → $Y$ 5개
없음	중복순열 $5^3$	125
$f(1) \le f(2) \le f(3)$	중복조합 $\nH{5}{3}$	35
$f(1) < f(2) < f(3)$	조합 $\nC{5}{3}$	10
일대일	순열 $\nP{5}{3}$	60

같이 풀어 보기 5조건이 더 붙은 함수

$X = \{1, 2, 3, 4\}$ 에서 $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ 로의 함수 중 (1) $f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4)$ 인 함수의 개수, (2) 그중 $f(1) = 1$ 인 함수의 개수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

(1) 값 4개를 중복 허용해 고르기: $\nH{4}{4} = \nC{7}{3} = 35$ (개). (2) $f(1) = 1$ 이면 나머지 $f(2) \le f(3) \le f(4)$ 는 1 이상 4 이하의 값 3개를 중복 허용해 고른 것: $\nH{4}{3} = \nC{6}{3} = 20$ (개).

같이 풀어 보기 6전개식의 항의 개수

$(a + b + c)^4$ 을 전개했을 때 서로 다른 항의 개수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

각 항은 $a^p b^q c^r$ ( $p + q + r = 4$ , $p, q, r$ 은 음이 아닌 정수) 꼴이고, 순서쌍 $(p, q, r)$ 마다 항이 하나씩이에요. $\nH{3}{4} = \nC{6}{2} = 15$ (개)

잠깐 퀴즈

$X = \{1, 2\}$ 에서 $Y = \{1, 2, 3\}$ 으로의 함수 중 $f(1) \le f(2)$ 인 것의 개수는?

조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하

이 개념 문제 15개 풀기 →

같은 것을 나누어 주는 문제는 조건을 먼저 처리한 뒤 남은 것을 중복조합으로 세요.

적어도 하나씩(빈 상자 없음) → 먼저 1개씩 주고 남은 것을 나눈다 = 양의 정수해.
어떤 종류는 $k$ 개 이상 → 그 종류에 먼저 $k$ 개를 주고 나머지를 나눈다.
어떤 종류는 $k$ 개 이하 → 전체에서 " $(k+1)$ 개 이상"인 경우를 뺀다(여사건).
공(사탕)이 서로 다르면 중복순열(01 단원), 같으면 중복조합 — 문제의 첫 줄에서 확인!

○○○

A 3

○

B 1

○○

C 2

○○○|○|○○

같은 사탕 6개를 3명에게 적어도 1개씩: 먼저 1개씩 주고 남은 3개를 나눈다 → ₃H₃ = 10. 빈 상자가 없어야 하니 | 사이에 ○ 가 꼭 하나는 있다.

같이 풀어 보기 7적어도 하나씩

같은 종류의 사탕 10개를 4명에게 나누어 줄 때, 모두 적어도 1개씩 받는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

먼저 1개씩 주고 남은 $10 - 4 = 6$ 개를 4명에게 자유롭게 나눠요: $\nH{4}{6} = \nC{9}{3} = 84$ (가지)

이 단원에서 자주 하는 실수

같은 것인지 다른 것인지 안 보고 세기 — 다른 공이면 $n^r$ (중복순열), 같은 공이면 $\nH{n}{r}$ .
$\nH{n}{r}$ 에서 $n$ 과 $r$ 을 바꾸기 — $n$ 은 종류(상자)의 수, $r$ 은 개수(○).
양의 정수해를 구하면서 1 씩 먼저 빼는 것을 잊기.
" $k$ 개 이하" 조건을 직접 세다 빠뜨리기 — 전체에서 " $(k+1)$ 개 이상"을 빼요.

한 장 요약

중복조합 $\nH{n}{r} = \nC{n+r-1}{n-1} = \nC{n+r-1}{r}$ — ○ $r$ 개와 | $(n-1)$ 개의 배열. $n$ 은 종류, $r$ 은 개수.
$x_1 + \cdots + x_n = r$ 의 음이 아닌 정수해 $\nH{n}{r}$ , 양의 정수해 $\nH{n}{r-n}$ (1 씩 먼저 빼기). 부등식 $\le$ 는 상자 하나를 더한다.
$f(1) \le f(2) \le \cdots$ 인 함수 = 값을 중복 허용해 고르기 $\nH{m}{n}$ . 등호 없음은 조합, 조건 없음은 중복순열.
분배: 같은 것 → 중복조합, 다른 것 → 중복순열. "적어도·이상"은 먼저 주고, "이하"는 여사건.

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 확률과 통계 · 경우의 수 · 순열과 조합 (중복조합)

Practice

문제 풀기 60문제

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Q1몸풀기① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
$\nH{3}{2}$ 의 값을 구하세요.
답
Q2몸풀기① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
$\nH{2}{4}$ 의 값을 구하세요.
답
Q3몸풀기① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열계단 1/3
사과, 배, 감이 충분히 많이 있어요. 이 중 4개를 고르는 경우의 수를 구하세요. (같은 과일을 여러 개 골라도 되고, 순서는 상관없어요.)
○○
사과 2
○
배 1
○
감 1
○○|○|○
답가지
Q4몸풀기① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
$\nH{4}{3}$ 과 값이 같은 것은?
Q5몸풀기② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해
방정식 $x + y = 5$ 를 만족시키는 음이 아닌 정수 $x, y$ 의 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수를 구하세요.
답개
Q6몸풀기② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해계단 1/6
방정식 $x + y + z = 4$ 를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하세요.
답개
Q7몸풀기② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해
방정식 $x + y + z = 5$ 를 만족시키는 양의 정수해의 개수를 구하세요.
답개
Q8몸풀기③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3\}$ 으로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2)$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q9몸풀기③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3\}$ 으로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2) \le f(3)$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q10몸풀기④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 공 6개를 상자 A, B, C 에 빈 상자가 없도록 넣는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q11몸풀기④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 연필 5자루를 세 학생에게 나누어 주는 경우의 수를 구하세요. (연필을 받지 못하는 학생이 있어도 돼요.)
답가지
Q12몸풀기① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
다음 중 중복조합으로 세는 것은?
Q13기본① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
$\nH{3}{6}$ 의 값을 구하세요.
답
Q14기본① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
$\nH{5}{3}$ 의 값을 구하세요.
답
Q15기본① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
빨강, 파랑, 노랑, 초록 색연필이 충분히 많이 있어요. 이 중 6자루를 고르는 경우의 수를 구하세요. (같은 색을 여러 자루 골라도 되고, 순서는 상관없어요.)
○○
빨강 2
비어 있음
파랑 0
○○○
노랑 3
○
초록 1
○○||○○○|○
답가지
Q16기본① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
주사위 한 개를 4번 던질 때, 나온 눈을 순서와 관계없이 "어떤 눈이 몇 번 나왔는지"만 볼 때 서로 다른 결과의 가짓수를 구하세요.
답가지
Q17기본② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해
방정식 $x + y + z = 7$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하세요.
답개
Q18기본② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해
방정식 $x + y + z + w = 6$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하세요.
답개
Q19기본② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해계단 2/6
방정식 $x + y + z = 10$ 을 만족시키는 양의 정수해의 개수를 구하세요.
답개
Q20기본② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해
방정식 $x + y + z = 8$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수해 중 $x \ge 2$ 인 것의 개수를 구하세요.
답개
Q21기본③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2) \le f(3)$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q22기본③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 로의 함수 $f$ 중 $f(1) < f(2) < f(3)$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q23기본③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3, 4\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3\}$ 으로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4)$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q24기본③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 으로의 함수 $f$ 중 $f(1) \ge f(2) \ge f(3)$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q25기본④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 사탕 8개를 세 사람 A, B, C 에게 모두 적어도 1개씩 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하세요.
○
A 1
○
B 1
○
C 1
답가지
Q26기본④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 공 7개를 상자 A, B, C, D 에 빈 상자가 없도록 넣는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q27기본④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하계단 2/3
사과, 배, 감이 충분히 많이 있어요. 이 중 5개를 고르는데 사과를 적어도 1개는 고르는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q28기본④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
$(a + b + c)^5$ 을 전개했을 때 서로 다른 항의 개수를 구하세요.
답개
Q29실력① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열계단 3/3
사과, 배, 감이 충분히 많이 있어요. 이 중 6개를 고를 때, 고른 과일의 종류가 두 종류 이하인 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q30실력① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
주사위 한 개를 3번 던져 나온 세 눈을 순서와 관계없이 묶음으로 볼 때, 같은 눈이 두 번 이상 들어 있는 묶음의 가짓수를 구하세요.
답가지
Q31실력② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해계단 3/6
방정식 $x + y + z = 9$ 를 만족시키는 정수해 중 $x, y, z$ 가 모두 2 이상인 것의 개수를 구하세요.
답개
Q32실력② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해
부등식 $x + y + z \le 5$ 를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하세요.
답개
Q33실력② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해계단 4/6
방정식 $x + y + z = 10$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수해 중 $x$ 가 짝수인 것의 개수를 구하세요.
답개
Q34실력② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해
방정식 $2x + y + z = 8$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하세요.
답개
Q35실력③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3, 4\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4)$ 이고 $f(1) = 2$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q36실력③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2)$ 인 함수의 개수를 구하세요. ( $f(3)$ 에는 조건이 없어요.)
답개
Q37실력③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3, 4\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 로의 함수 $f$ 중 $f(1) < f(2)$ 이고 $f(3) \le f(4)$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q38실력④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 공 10개를 상자 A, B, C 에 넣을 때, A 에는 2개 이상, B 에는 1개 이상 넣는 경우의 수를 구하세요. (C 는 비어 있어도 돼요.)
답가지
Q39실력④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 꽃 12송이를 꽃병 4개에 꽂을 때, 꽃병마다 2송이 이상 꽂는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q40실력④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
4종류의 아이스크림 중 5개를 고를 때, 어떤 종류도 3개 이상은 고르지 않는 경우의 수를 구하세요. (같은 종류를 여러 개 골라도 되고, 순서는 상관없어요.)
답가지
Q41실력① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
서로 같은 흰 공 4개와 서로 같은 검은 공 2개를 세 사람에게 나누어 주는 경우의 수를 구하세요. (공을 받지 못하는 사람이 있어도 돼요.)
답가지
Q42실력④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 사탕 9개를 세 사람에게 각각 1개 이상 4개 이하로 나누어 주는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q43도전② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해계단 5/6
방정식 $x + y + z = 10$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수해 중 $x, y, z$ 가 모두 5 이하인 것의 개수를 구하세요.
답개
Q44도전③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ 로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5)$ 이고 $f(3) = 2$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q45도전④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 공 10개를 상자 A, B, C 에 남김없이 넣을 때, A 의 공이 B 의 공보다 많은 경우의 수를 구하세요. (빈 상자가 있어도 돼요.)
답가지
Q46도전① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
1 부터 6 까지의 자연수 중에서 중복을 허용하여 3개를 고른 묶음(순서 없음) 중, 고른 세 수의 합이 짝수인 것의 가짓수를 구하세요.
답가지
Q47도전② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해서술형 · 스스로 채점
방정식 $x + y + z = 7$ 의 양의 정수해의 개수를 음이 아닌 정수해 문제로 바꾸어 구하는 과정을 쓰고, 이것이 ○와 | 의 그림에서 무엇을 뜻하는지 설명하세요.
Q48도전④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
사과, 배, 감, 귤이 충분히 많이 있어요. 이 중 8개를 고르는데 사과는 2개 이상, 배는 1개 이상, 감은 3개 이하로 고르는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q49도전③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)
집합 $X = \{1, 2, 3, 4\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 으로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2) \le f(3)$ 이고 $f(4) < f(3)$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답개
Q50도전② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해
방정식 $x + y + z + w = 10$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수해 중 $x + y$ 가 홀수인 것의 개수를 구하세요.
답개
Q51도전④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하
서로 같은 사탕 7개를 세 사람 A, B, C 에게 남김없이 나누어 줄 때, A 가 다른 두 사람보다 더 많이 받는 경우의 수를 구하세요. (못 받는 사람이 있어도 돼요.)
답가지
Q52도전① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열
$(a + b + c + d)^5$ 을 전개했을 때 서로 다른 항의 개수를 구하세요.
답개
Q53실전 · 3점② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해수능·모의평가 · 방정식의 양의 정수해의 개수 · 변형 유형
방정식 $x + y + z = 9$ 를 만족시키는 양의 정수 $x, y, z$ 의 모든 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수는?
Q54실전 · 3점③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)수능·모의평가 · 크기 순서가 정해진 함수의 개수 · 변형 유형
집합 $X = \{1, 2, 3\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 으로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2) \le f(3)$ 을 만족시키는 함수의 개수는?
Q55실전 · 3점④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하수능·모의평가 · 같은 물건을 적어도 하나씩 나누어 주기 · 변형 유형
서로 같은 연필 8자루를 세 학생에게 각각 1자루 이상 받도록 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?
Q56실전 · 4점① 종류를 골라 담기 — 중복조합 ₙHᵣ 은 ○와 | 의 배열수능·모의평가 · 특정 종류의 개수에 상한이 있는 중복조합 · 변형 유형
사과, 배, 감, 귤이 충분히 많이 있어요. 이 중 7개를 고를 때 사과를 3개 이하로 고르는 경우의 수는? (사과를 고르지 않아도 되고, 같은 과일을 여러 개 골라도 돼요.)
○○○
사과 3
○○
배 2
비어 있음
감 0
○○
귤 2
○○○|○○||○○
Q57실전 · 3점② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해수능·모의평가 · 문자마다 조건이 다른 방정식의 해 · 변형 유형
방정식 $x + y + z + w = 8$ 을 만족시키는 정수해 중 $x \ge 1$ , $y \ge 1$ , $z \ge 2$ , $w \ge 0$ 인 것의 개수를 구하세요.
답
Q58실전 · 3점③ 크기 순서가 정해진 함수 — f(1) ≤ f(2) ≤ f(3)수능·모의평가 · 크기 순서 함수에 함숫값 조건 더하기 · 변형 유형
집합 $X = \{1, 2, 3, 4\}$ 에서 집합 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 로의 함수 $f$ 중 $f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4)$ 이고 $f(1) + f(4) = 6$ 인 함수의 개수를 구하세요.
답
Q59실전 · 4점④ 조건이 있는 분배 — 적어도 하나씩, 몇 개 이상·이하수능·모의평가 · 상자마다 하한과 상한이 있는 분배 · 변형 유형
서로 같은 공 12개를 상자 A, B, C 에 남김없이 넣을 때, A 에는 3개 이상, B 에는 2개 이상, C 에는 1개 이상 5개 이하로 넣는 경우의 수를 구하세요.
답
Q60실전 · 4점② 방정식의 해의 개수 — 음이 아닌 정수해와 양의 정수해계단 6/6수능·모의평가 · 크기 순서가 정해진 해의 개수 (경우 나열) · 변형 · 그보다 어렵게 유형
방정식 $x + y + z = 10$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수해 중 $x \le y \le z$ 인 것의 개수를 구하세요.
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