UNIT 15

모집단과 표본, 표본평균의 분포

모집단에서 뽑은 표본의 평균 X̄ 도 확률변수예요. 평균은 모평균 m 그대로, 분산은 σ²/n 으로 줄고, 모집단이 정규분포면 X̄ 도 정규분포예요.

고2어려움 ★★★★★약 90분#모집단#표본#임의추출#표본평균Claude Opus 5.5 로 씀AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

모집단과 표본, 전수조사와 표본조사, 임의추출(복원·비복원)의 뜻을 알고 표본의 개수를 센다.
작은 모집단에서 표본평균 X̄ 의 확률분포를 표로 구한다.
E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n, σ(X̄) = σ/√n 을 이용한다.
모집단이 정규분포 N(m, σ²) 이면 X̄ 가 N(m, σ²/n) 을 따름을 이용해 확률을 구한다.

앞에서 배운 것13 · 정규분포와 표준정규분포 →10 · 확률변수와 확률분포, 기댓값과 표준편차 →

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모집단과 표본 — 임의추출

이 개념 문제 6개 풀기 →

조사하려는 대상 전체를 모집단, 그 일부를 표본이라 해요. 모집단 전체를 조사하면 전수조사, 표본만 조사하면 표본조사예요. 표본의 크기는 표본에 든 대상의 수예요.

모집단의 각 대상이 같은 확률로 뽑히게 하는 것을 임의추출이라 해요. 뽑은 것을 되돌려 놓고 다시 뽑으면 복원추출, 되돌려 놓지 않으면 비복원추출이에요. 모집단이 아주 크면 둘의 차이는 거의 없어서, 이 책에서는 특별한 말이 없으면 복원추출로 생각해요.

같이 풀어 보기 1표본의 개수

1, 2, 3, 4 가 하나씩 적힌 카드 4장에서 크기가 2 인 표본을 뽑아요. 순서를 생각할 때 (1) 복원추출과 (2) 비복원추출의 표본은 각각 몇 가지일까요?

▸ 풀이 보기

(1) 복원추출은 첫째·둘째 모두 4가지씩: $4^2 = 16$ 가지

(2) 비복원추출은 둘째가 3가지: $\nP{4}{2} = 4 \times 3 = 12$ 가지

표본평균 X̄ 의 확률분포

이 개념 문제 12개 풀기 →

모집단에서 크기 $n$ 인 표본 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 을 임의추출할 때

\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}

을 표본평균이라 해요. 모집단의 평균 $m$ 은 모평균, 분산 $\sigma^2$ 과 표준편차 $\sigma$ 는 모분산과 모표준편차라 해요. 모집단이 작으면 표본을 모두 늘어놓아 $\overline{X}$ 의 확률분포를 직접 구할 수 있어요.

(1,1) → 1(1,2) → 1.5(1,3) → 2(2,1) → 1.5(2,2) → 2(2,3) → 2.5(3,1) → 2(3,2) → 2.5(3,3) → 3

X̄ = 2 · 3개

카드 1, 2, 3 에서 크기 2 인 표본(복원추출) 9가지와 그 표본평균 — X̄ = 2 인 것은 3가지

X̄	1	1.5	2	2.5	3	합계
P(X̄ = x)	19	29	39	29	19	1

표본평균 X̄ 의 확률분포 — 가운데(모평균 2)에 몰려 있어요.

같이 풀어 보기 2X̄ 의 평균

위 표에서 $E(\overline{X})$ 를 구하세요.

▸ 풀이 보기

$E(\overline{X}) = \dfrac{1 \times 1 + 1.5 \times 2 + 2 \times 3 + 2.5 \times 2 + 3 \times 1}{9} = \dfrac{18}{9} = 2$ 로, 모평균 $m = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2$ 와 같아요.

E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n

이 개념 문제 19개 풀기 →

모평균이 $m$ , 모분산이 $\sigma^2$ 인 모집단에서 크기 $n$ 인 표본을 임의추출하면

\begin{gathered} E(\overline{X}) = m \\ V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}, \quad \sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{gathered}

표본평균은 평균적으로 모평균과 같고, 표본이 클수록 덜 흩어져요. 표본의 크기를 4배로 하면 $\sigma(\overline{X})$ 는 절반이 돼요.

모집단 — 평균 2, 분산 2/3

X̄ (n = 2) — 평균은 그대로 2, 분산은 (2/3) ÷ 2 = 1/3 로 줄어요.

직접 해 보기

표본평균 모으기

모집단의 분포 — 평균 m = 3.5, 표준편차 σ ≈ 1.708

표본의 크기 n

버튼을 눌러 표본평균을 모아 보세요 · 분홍 곡선 = N(m, σ²/n)

표본평균들의 평균 vs m— vs 3.5

표본평균들의 표준편차 vs σ/√n— vs 0.854

n 을 1 → 25 로 키우면 히스토그램이 m 근처로 모이고(σ/√n 이 작아짐), '0 과 10 만'처럼 이상한 모집단도 종 모양이 돼요.

해 볼 것 · '주사위 눈'에서 n = 1 로 1000번 뽑으면 히스토그램이 평평해요. n = 4, 9, 25 로 키우면 가운데로 모여 종 모양이 되고, 표준편차가 σ/√n 과 비슷해져요. '0 과 10 만'처럼 이상한 모집단도 n 이 크면 종 모양이에요.

같이 풀어 보기 3공식으로 확인하기

카드 1, 2, 3 의 모집단에서 크기 2 인 표본의 $V(\overline{X})$ 를 공식으로 구하고, 표로 구한 값과 비교하세요.

▸ 풀이 보기

모분산 $\sigma^2 = \dfrac{1 + 4 + 9}{3} - 2^2 = \dfrac{2}{3}$ 이므로 $V(\overline{X}) = \dfrac{2/3}{2} = \dfrac{1}{3}$ 이에요.

표로 구하면 $E(\overline{X}^2) = \dfrac{1 + 4.5 + 12 + 12.5 + 9}{9} = \dfrac{39}{9} = \dfrac{13}{3}$ 이고 $\dfrac{13}{3} - 4 = \dfrac{1}{3}$ 으로 같아요.

같이 풀어 보기 4표본의 크기 정하기

모표준편차가 12 인 모집단에서 표본평균의 표준편차가 2 이하가 되게 하려면 표본의 크기는 적어도 얼마여야 할까요?

▸ 풀이 보기

$\dfrac{12}{\sqrt{n}} \le 2$ 이므로 $\sqrt{n} \ge 6$ , $n \ge 36$ — 적어도 36 이에요.

잠깐 퀴즈

모분산이 36 인 모집단에서 크기 9 인 표본을 뽑을 때 $\sigma(\overline{X})$ 는?

모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포

이 개념 문제 23개 풀기 →

모집단이 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$ 을 따르면 표본평균 $\overline{X}$ 는 정규분포 $\mathrm{N}\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ 을 따라요. 모집단이 정규분포가 아니어도 $n$ 이 충분히 크면 $\overline{X}$ 는 근사적으로 $\mathrm{N}\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ 을 따라요. 그래서 13 단원처럼 표준화해 표로 확률을 구해요.

Z = \frac{\overline{X} - m}{\sigma / \sqrt{n}}

모집단 N(50, 10²) 에서 n = 25 이면 X̄ 의 표준편차는 10/√25 = 2 — 훨씬 좁고 높아요.

같이 풀어 보기 5표본평균의 확률

모집단이 정규분포 $\mathrm{N}(50, 10^2)$ 을 따를 때, 크기 25 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $P(\overline{X} \ge 53)$ 을 구하세요. ( $P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332$ )

▸ 풀이 보기

$\overline{X}$ 는 $\mathrm{N}(50, 2^2)$ 을 따르므로 $P(\overline{X} \ge 53) = P\left(Z \ge \dfrac{53 - 50}{2}\right) = P(Z \ge 1.5) = 0.0668$

P(X̄ ≥ 53) — 53 은 X̄ 의 평균보다 표준편차 1.5개 위

같이 풀어 보기 6전구의 수명

어느 회사 전구의 수명은 평균 1000시간, 표준편차 60시간인 정규분포를 따라요. 전구 36개를 임의추출할 때 수명의 평균이 1010시간 이상일 확률을 구하세요. ( $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ )

▸ 풀이 보기

$\sigma(\overline{X}) = \dfrac{60}{\sqrt{36}} = 10$ 이므로 $P(\overline{X} \ge 1010) = P(Z \ge 1) = 0.1587$

같이 풀어 보기 7정규분포가 아닌 모집단

평균이 5, 표준편차가 2 인 모집단(정규분포가 아님)에서 크기 100 인 표본을 뽑을 때, $P(\overline{X} \ge 5.3)$ 을 어림하세요. ( $P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332$ )

▸ 풀이 보기

$n = 100$ 이 충분히 크므로 $\overline{X}$ 는 근사적으로 $\mathrm{N}(5, 0.2^2)$ 을 따라요. $P(\overline{X} \ge 5.3) \approx P\left(Z \ge \dfrac{0.3}{0.2}\right) = P(Z \ge 1.5) = 0.0668$

이 단원에서 자주 하는 실수

표본평균의 표준편차를 $\dfrac{\sigma}{n}$ 으로 쓰기 — $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 이에요.
$\overline{X}$ 의 확률을 구하면서 모집단의 표준편차 $\sigma$ 로 표준화하기 — $\overline{X}$ 는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 로 나눠요.
표본평균 $\overline{X}$ (확률변수)와 모평균 $m$ (정해진 수)을 헷갈리기.
표본의 크기 $n$ 과 표본의 개수(뽑을 수 있는 표본이 몇 가지인지)를 헷갈리기.

한 장 요약

모집단 전체 대신 임의추출한 표본을 조사해요 (복원·비복원추출).
표본평균 $\overline{X}$ 는 확률변수 — 작은 모집단에서는 표로 분포를 구해요.
$E(\overline{X}) = m$ , $V(\overline{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$ , $\sigma(\overline{X}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
모집단이 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$ 이면 $\overline{X} \sim \mathrm{N}\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ — $n$ 이 크면 근사적으로도 그래요.

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 확률과 통계 · 통계 · 모집단과 표본, 표본평균과 모평균의 관계

Practice

문제 풀기 60문제

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Q1몸풀기① 모집단과 표본 — 임의추출
조사하려는 대상 전체를 빠짐없이 조사하는 방법은?
Q2몸풀기① 모집단과 표본 — 임의추출
1, 2, 3, 4, 5 가 하나씩 적힌 카드 5장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, 순서를 생각한 표본의 개수를 구하세요.
답가지
Q3몸풀기① 모집단과 표본 — 임의추출
1, 2, 3, 4, 5 가 하나씩 적힌 카드 5장에서 크기가 2 인 표본을 비복원추출할 때, 순서를 생각한 표본의 개수를 구하세요.
답가지
Q4몸풀기③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모평균이 10 인 모집단에서 크기가 4 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$ 의 평균을 구하세요.
답
Q5몸풀기③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모분산이 36 인 모집단에서 크기가 9 인 표본을 임의추출할 때, $V(\overline{X})$ 를 구하세요.
답
Q6몸풀기③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모표준편차가 12 인 모집단에서 크기가 16 인 표본을 임의추출할 때, $\sigma(\overline{X})$ 를 구하세요.
답
Q7몸풀기④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(50, 10^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 25 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$ 가 따르는 분포는?
Q8몸풀기④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(60, 8^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 16 인 표본을 임의추출할 때, $P(\overline{X} \ge 60)$ 을 구하세요.
답
Q9몸풀기② 표본평균 X̄ 의 확률분포계단 1/4
1, 2, 3 이 하나씩 적힌 카드 3장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $P(\overline{X} = 2)$ 를 구하세요.
답
Q10몸풀기③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모표준편차가 10 인 모집단에서 임의추출한 표본의 표본평균의 표준편차가 2 일 때, 표본의 크기를 구하세요.
답
Q11몸풀기② 표본평균 X̄ 의 확률분포계단 2/4
1, 2, 3 이 하나씩 적힌 카드 3장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, $E(\overline{X})$ 를 구하세요.
답
Q12몸풀기④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(100, 20^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 100 인 표본을 임의추출할 때, $P(\overline{X} \le 104)$ 를 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q13기본② 표본평균 X̄ 의 확률분포계단 3/4
1, 2, 3 이 하나씩 적힌 카드 3장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, $P(\overline{X} \ge 2)$ 를 구하세요.
답
Q14기본② 표본평균 X̄ 의 확률분포계단 4/4
1, 2, 3 이 하나씩 적힌 카드 3장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, $P(\overline{X} = 2.5)$ 를 구하세요.
답
Q15기본③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모집단의 확률분포가 표와 같을 때, 크기가 2 인 표본을 임의추출한 표본평균 $\overline{X}$ 의 분산을 구하세요.
X 1 2 3 합계
P(X = x) 14 12 14 1
답
Q16기본③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모집단의 확률분포가 표와 같을 때, 크기가 2 인 표본을 임의추출한 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $E(\overline{X}) + V(\overline{X})$ 를 구하세요.
X 1 2 3 합계
P(X = x) 14 12 14 1
답
Q17기본④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포계단 1/2
정규분포 $\mathrm{N}(50, 10^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 25 인 표본을 임의추출할 때, $P(\overline{X} \ge 52)$ 를 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q18기본④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포계단 2/2
정규분포 $\mathrm{N}(50, 10^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 25 인 표본을 임의추출할 때, $P(46 \le \overline{X} \le 54)$ 를 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q19기본④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(100, 12^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 16 인 표본을 임의추출할 때, $P(\overline{X} \le 94)$ 를 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q20기본③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
표본평균의 표준편차가 모표준편차의 $\dfrac{1}{4}$ 이 되려면 표본의 크기는 얼마여야 하나요?
답
Q21기본① 모집단과 표본 — 임의추출
1, 2, 3, 4 가 하나씩 적힌 카드 4장에서 크기가 3 인 표본을 복원추출할 때, 순서를 생각한 표본의 개수를 구하세요.
답가지
Q22기본② 표본평균 X̄ 의 확률분포
앞면이면 1, 뒷면이면 0 으로 기록하는 동전 던지기를 모집단으로 보고, 크기가 4 인 표본(4번 던짐)의 표본평균을 $\overline{X}$ 라 해요. $P\left(\overline{X} = \dfrac{1}{2}\right)$ 을 구하세요.
답
Q23기본④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
모표준편차가 16 인 정규분포 $\mathrm{N}(m, 16^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 64 인 표본을 임의추출할 때, $P(\overline{X} \ge m + 3)$ 을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q24기본③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
같은 모집단에서 표본의 크기를 4배로 늘리면 표본평균의 표준편차는 어떻게 되나요?
Q25기본④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
어느 공장 과자 한 봉지의 무게는 평균 200 g, 표준편차 8 g 인 정규분포를 따라요. 16봉지를 임의추출할 때 무게의 평균이 197 g 이하일 확률을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q26기본② 표본평균 X̄ 의 확률분포
2, 4, 6 이 하나씩 적힌 카드 3장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, $E(\overline{X})$ 를 구하세요.
답
Q27기본③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
2, 4, 6 이 하나씩 적힌 카드 3장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, $V(\overline{X})$ 를 구하세요.
답
Q28기본④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
어느 고등학교 학생의 키는 평균 170 cm, 표준편차 10 cm 인 정규분포를 따라요. 학생 25명을 임의추출할 때 키의 평균이 168 cm 이상 173 cm 이하일 확률을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q29실력② 표본평균 X̄ 의 확률분포
모집단의 확률분포가 표와 같을 때, 크기가 2 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $P(\overline{X} = 1)$ 을 구하세요.
X 0 1 2 합계
P(X = x) 12 14 14 1
답
Q30실력③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모집단의 확률분포가 표와 같을 때, 크기가 2 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 의 분산을 구하세요.
X 0 1 2 합계
P(X = x) 12 14 14 1
답
Q31실력④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(m, 4^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 16 인 표본을 임의추출할 때 $P(\overline{X} \ge 52) = 0.0228$ 이에요. $m$ 의 값을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q32실력④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(60, \sigma^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 25 인 표본을 임의추출할 때 $P(\overline{X} \ge 62) = 0.1587$ 이에요. $\sigma$ 의 값을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q33실력③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n계단 1/3
모표준편차가 15 인 모집단에서 표본평균의 표준편차가 3 이하가 되도록 하는 표본의 크기 $n$ 의 최솟값을 구하세요.
답
Q34실력④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
모표준편차가 6 인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 36 인 표본을 임의추출할 때, $P(|\overline{X} - m| \le 2)$ 를 구하세요. (단, $m$ 은 모평균)
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q35실력② 표본평균 X̄ 의 확률분포
1, 2, 3, 4 가 하나씩 적힌 카드 4장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, $P(\overline{X} = 2.5)$ 를 구하세요.
답
Q36실력③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
1, 2, 3, 4 가 하나씩 적힌 카드 4장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, $V(\overline{X})$ 를 구하세요.
답
Q37실력④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(50, 10^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 25 인 표본의 평균을 $\overline{X}$ , 크기가 100 인 표본의 평균을 $\overline{Y}$ 라 해요. $P(\overline{X} \ge 52) - P(\overline{Y} \ge 52)$ 를 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q38실력④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
어느 회사 전구의 수명은 평균 1000시간, 표준편차 60시간인 정규분포를 따라요. 전구 36개를 임의추출할 때 수명의 평균이 985시간 이상일 확률을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q39실력① 모집단과 표본 — 임의추출
1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적힌 공 6개에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, 표본평균이 3 인 표본은 몇 가지일까요? (순서를 생각해요.)
답가지
Q40실력③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
크기가 25 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $E(\overline{X}) = 30$ , $V(\overline{X}) = 4$ 일 때, 모표준편차를 구하세요.
답
Q41실력④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(80, 20^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 100 인 표본을 임의추출할 때, $P(\overline{X} \le k) = 0.9772$ 를 만족하는 $k$ 의 값을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q42실력③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모평균 $m$ , 모표준편차 $\sigma$ 인 모집단에서 크기가 $n$ 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$ 에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
Q43도전② 표본평균 X̄ 의 확률분포
모집단의 확률분포가 표와 같을 때, 크기가 2 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $P(\overline{X} \le 1.5)$ 를 구하세요.
X 1 2 3 합계
P(X = x) 12 13 16 1
답
Q44도전③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
크기가 4 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $E(\overline{X}) = 5$ , $E(\overline{X}^2) = 26$ 일 때, 모표준편차를 구하세요.
답
Q45도전④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
모집단이 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$ 을 따를 때, 모집단에서 하나를 뽑은 값 $X$ 와 크기 36 인 표본의 평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $P(X \ge m + \sigma) - P\left(\overline{X} \ge m + \dfrac{\sigma}{4}\right)$ 를 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q46도전④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포계단 2/3
모표준편차가 10 인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기 $n$ 인 표본을 뽑을 때, $P(|\overline{X} - m| \le 2) \ge 0.9544$ 가 되도록 하는 $n$ 의 최솟값을 구하세요. (단, $m$ 은 모평균)
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q47도전② 표본평균 X̄ 의 확률분포
앞면이면 1, 뒷면이면 0 으로 기록하는 동전 던지기를 모집단으로 보고, 크기가 4 인 표본의 표본평균을 $\overline{X}$ 라 해요. $P\left(\overline{X} \ge \dfrac{3}{4}\right)$ 을 구하세요.
답
Q48도전③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n서술형 · 스스로 채점
표본의 크기가 커질수록 표본평균이 모평균 근처에 모이는(분산이 $\dfrac{\sigma^2}{n}$ 으로 줄어드는) 까닭을 말로 설명하고, 카드 1, 2, 3 의 모집단에서 크기가 2 인 표본으로 $V(\overline{X}) = \dfrac{\sigma^2}{2}$ 임을 확인하세요.
Q49도전④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
성인 한 명의 몸무게는 평균 65 kg, 표준편차 10 kg 인 정규분포를 따른다고 해요. 정원 16명인 엘리베이터에 성인 16명이 탔을 때, 몸무게의 합이 1120 kg 을 넘을 확률을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q50도전③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n
모집단의 확률분포가 표와 같고, 크기가 2 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $V(\overline{X}) = \dfrac{1}{4}$ 일 때, $b$ 의 값을 구하세요.
X 0 1 2 합계
P(X = x) a b a 1
답
Q51도전④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포
정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 25 인 표본을 임의추출할 때 $P(\overline{X} \ge 54) = 0.0228$ , $P(\overline{X} \le 47) = 0.0668$ 이에요. $m + \sigma$ 의 값을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q52도전① 모집단과 표본 — 임의추출
1, 2, 3, 4, 5 가 하나씩 적힌 카드 5장에서 크기가 3 인 표본을 복원추출할 때, 표본평균이 4 이상인 표본은 몇 가지일까요? (순서를 생각해요.)
답가지
Q53실전 · 2점③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n수능·모의평가 · 표본평균의 분산 · 변형 유형
모평균이 20, 모분산이 16 인 모집단에서 크기가 4 인 표본을 임의추출할 때, $V(\overline{X})$ 의 값은?
Q54실전 · 3점④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포수능·모의평가 · 표본평균의 확률 · 변형 유형
정규분포 $\mathrm{N}(50, 8^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 16 인 표본을 임의추출할 때, $P(\overline{X} \ge 53)$ 의 값은?
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
Q55실전 · 3점② 표본평균 X̄ 의 확률분포수능·모의평가 · 모집단의 분포표에서 표본평균의 평균·분산 · 변형 유형
모집단의 확률분포가 표와 같을 때, 크기가 2 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여 $E(\overline{X}) + V(\overline{X})$ 의 값은?
X 0 1 2 합계
P(X = x) 14 12 14 1
Q56실전 · 3점④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포수능·모의평가 · 표본평균의 확률로 모평균 찾기 · 변형 유형
정규분포 $\mathrm{N}(m, 10^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 25 인 표본을 임의추출할 때 $P(\overline{X} \le 48) = 0.1587$ 이에요. $P(\overline{X} \ge 54)$ 의 값은?
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
Q57실전 · 3점③ E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n계단 3/3수능·모의평가 · 표본평균의 표준편차로 표본의 크기 · 변형 유형
모표준편차가 20 인 모집단에서 임의추출한 표본의 표본평균의 표준편차가 2.5 일 때, 표본의 크기를 구하세요.
답
Q58실전 · 4점④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포수능·모의평가 · 두 확률로 모평균·모표준편차 찾기 · 변형 유형
정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 16 인 표본을 임의추출할 때 $P(\overline{X} \ge 54) = 0.0228$ , $P(\overline{X} \le 47) = 0.0668$ 이에요. $m + \sigma$ 의 값을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답
Q59실전 · 4점② 표본평균 X̄ 의 확률분포수능·모의평가 · 작은 모집단의 표본평균 확률 (p+q) · 변형 유형
1, 2, 3, 4 가 하나씩 적힌 카드 4장에서 크기가 2 인 표본을 복원추출할 때, $P(\overline{X} \ge 3) = \dfrac{q}{p}$ 예요. $p + q$ 의 값을 구하세요. (단, $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수)
답
Q60실전 · 4점④ 모집단이 정규분포일 때 X̄ 의 분포수능·모의평가 · 표본평균의 구간 확률 (×10000) · 변형 · 그보다 어렵게 유형
어느 공장에서 채운 우유 한 팩의 용량은 평균 1000 mL, 표준편차 8 mL 인 정규분포를 따라요. 16팩을 임의추출한 표본의 평균 용량이 999 mL 이상 1004 mL 이하일 확률을 $p$ 라 할 때, $10000p$ 의 값을 구하세요.
z P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
답

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

X	1	2	3	합계
P(X = x)	14	12	14	1

X	1	2	3	합계
P(X = x)	14	12	14	1

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

X	0	1	2	합계
P(X = x)	12	14	14	1

X	0	1	2	합계
P(X = x)	12	14	14	1

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

X	1	2	3	합계
P(X = x)	12	13	16	1

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

X	0	1	2	합계
P(X = x)	a	b	a	1

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

X	0	1	2	합계
P(X = x)	14	12	14	1

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

z	P(0 ≤ Z ≤ z)
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

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