UNIT 12

연속확률변수와 확률밀도함수

시간·길이처럼 구간의 모든 값을 가지는 확률변수는 확률을 그래프 아래의 넓이로 구해요. 전체 넓이는 1, 한 점의 확률은 0 이에요.

고2어려움 ★★★★★약 60분#연속확률변수#확률밀도함수#넓이#균등분포Claude Opus 5.5 로 씀AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

연속확률변수와 확률밀도함수의 뜻을 알고, 이산확률변수와 구별한다.
P(a ≤ X ≤ b) 를 확률밀도함수의 그래프와 x 축 사이의 넓이로 구한다.
전체 넓이가 1 이라는 조건으로 확률밀도함수의 상수를 구한다.
대기 시간처럼 고르게 퍼진 값(균등분포)의 확률을 구한다.

앞에서 배운 것10 · 확률변수와 확률분포, 기댓값과 표준편차 →

문제 60개 풀기 ↓🖨 시험지 만들기 + 공부 계획표에 넣기

연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때

이 개념 문제 10개 풀기 →

어떤 구간에 속하는 모든 실수 값을 가지는 확률변수를 연속확률변수라 해요. 연속확률변수 $X$ 가 $\alpha \le X \le \beta$ 의 값을 가질 때, 다음을 만족하는 함수 $f(x)$ 를 $X$ 의 확률밀도함수라 해요.

$f(x) \ge 0$ (그래프가 $x$ 축 위에 있음)
$y = f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축 및 두 직선 $x = \alpha$ , $x = \beta$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는 1
$P(a \le X \le b)$ 는 $y = f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축 및 두 직선 $x = a$ , $x = b$ 로 둘러싸인 부분의 넓이

f(x) = 1/4 (0 ≤ x ≤ 4) — 넓이 1/4 × 4 = 1. P(1 ≤ X ≤ 3) 은 칠한 직사각형 넓이 2 × 1/4 = 1/2

한 점 $x = a$ 위에는 넓이가 없으므로 $P(X = a) = 0$ 이에요. 그래서 연속확률변수에서는 부등호에 등호가 있든 없든 확률이 같아요.

P(a \le X \le b) = P(a < X < b)

잠깐 퀴즈

연속확률변수 $X$ 에 대하여 $P(X = 2)$ 는?

확률 = 그래프 아래의 넓이

이 개념 문제 23개 풀기 →

고등학교에서 다루는 확률밀도함수의 그래프는 대개 직선으로 이루어져서, 넓이를 직사각형·삼각형·사다리꼴로 구해요. 그래프가 대칭이면 대칭을 이용하고, 구하기 어려운 쪽은 전체 1 에서 빼요.

f(x) = x/2 (0 ≤ x ≤ 2) — P(0 ≤ X ≤ 1) 은 밑변 1, 높이 1/2 인 삼각형: 1/4

직접 해 보기

넓이가 곧 확률

f(x) = 1/4 (0 ≤ x ≤ 4) — 칠한 넓이 = P(1 ≤ X ≤ 3)

aa = 1bb = 3

P(1 ≤ X ≤ 3) = 넓이1/2 ≈ 0.5

전체 넓이1

P(X = 1)0 (선분의 넓이)

a 와 b 를 같게 두면 넓이가 0 — 연속확률변수는 한 값을 가질 확률이 0 이라서 P(a ≤ X ≤ b) 와 P(a < X < b) 가 같아요.

해 볼 것 · '오르는 직선'에서 a = 0, b = 1 이면 넓이가 1/4 이에요. b 를 2 까지 늘리면 전체 넓이 1. a 와 b 를 같게 두면 넓이가 0 — 한 점의 확률은 0 이에요.

같이 풀어 보기 1삼각형과 사다리꼴

확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{x}{2}$ $(0 \le x \le 2)$ 인 연속확률변수 $X$ 에 대하여 $P\left(\dfrac{1}{2} \le X \le 1\right)$ 을 구하세요.

▸ 풀이 보기

$x = \dfrac{1}{2}$ 에서 높이 $\dfrac{1}{4}$ , $x = 1$ 에서 높이 $\dfrac{1}{2}$ 인 사다리꼴이에요.

$\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16}$

꼭대기가 (2, 1/2) 인 삼각형 — 양 끝 작은 삼각형 두 개(각 1/8)를 빼면 P(1 ≤ X ≤ 3) = 3/4

같이 풀어 보기 2대칭 이용하기

확률밀도함수의 그래프가 직선 $x = 2$ 에 대하여 대칭인 연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 4)$ 에 대하여 $P(X \le 1) = 0.15$ 일 때, $P(1 \le X \le 3)$ 을 구하세요.

▸ 풀이 보기

대칭이므로 $P(X \ge 3) = P(X \le 1) = 0.15$ 예요. $P(1 \le X \le 3) = 1 - 0.15 - 0.15 = 0.7$

같이 풀어 보기 3등호는 상관없어요

확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{x}{2}$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때 $P(1 < X \le 2)$ 를 구하세요.

▸ 풀이 보기

$P(X = 1) = 0$ 이므로 $P(1 < X \le 2) = P(1 \le X \le 2) = 1 - P(0 \le X \le 1) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

전체 넓이 1 로 상수 구하기

이 개념 문제 16개 풀기 →

확률밀도함수에 모르는 상수가 있으면 '전체 넓이 = 1' 로 식을 세워요. 예를 들어 $f(x) = kx$ $(0 \le x \le 3)$ 이면 그래프 아래는 밑변 3, 높이 $3k$ 인 삼각형이므로 $\dfrac{1}{2} \times 3 \times 3k = 1$ , $k = \dfrac{2}{9}$ 예요.

f(x) = kx (0 ≤ x ≤ 3) — 넓이 (1/2) × 3 × 3k = 1 에서 k = 2/9

같이 풀어 보기 4kx 의 상수

확률밀도함수가 $f(x) = kx$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때 상수 $k$ 와 $P(X \ge 2)$ 를 구하세요.

▸ 풀이 보기

$\dfrac{1}{2} \times 4 \times 4k = 8k = 1$ 이므로 $k = \dfrac{1}{8}$ 이에요.

$P(X \le 2) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ 이므로 $P(X \ge 2) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

같이 풀어 보기 5사다리꼴 모양

연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 $0 \le x \le 3$ 에서 높이 $c$ 로 일정하고, $3 \le x \le 5$ 에서 일직선으로 줄어 $x = 5$ 에서 0 이 돼요. 상수 $c$ 를 구하세요.

▸ 풀이 보기

직사각형 $3c$ 와 삼각형 $\dfrac{1}{2} \times 2 \times c = c$ 의 합이 1 이므로 $4c = 1$ , $c = \dfrac{1}{4}$

잠깐 퀴즈

$f(x) = \dfrac{1}{3}$ $(0 \le x \le 3)$ 일 때 $P(1 \le X \le 2)$ 는?

고르게 퍼진 값 — 균등분포

이 개념 문제 11개 풀기 →

10분마다 오는 버스를 아무 때나 정류장에 가서 기다리면, 기다리는 시간 $X$ 는 0분과 10분 사이의 어느 값이든 똑같이 그럴듯해요. 이처럼 확률밀도함수가 구간 위에서 일정한 분포를 균등분포라 해요. 구간 $[\alpha, \beta]$ 에서 $f(x) = \dfrac{1}{\beta - \alpha}$ 이고, 확률은 '구간의 길이 ÷ 전체 길이' 예요.

10분마다 오는 버스 — 3분 이하로 기다릴 확률 = 3/10

같이 풀어 보기 6버스 기다리기

10분 간격으로 오는 버스를 아무 때나 정류장에 가서 기다릴 때, 4분 이하로 기다릴 확률을 구하세요.

▸ 풀이 보기

기다리는 시간은 0 과 10 사이에서 균등분포를 따르므로 $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

같이 풀어 보기 7부등식이 붙은 사건

$X$ 가 0 과 6 사이에서 균등분포를 따를 때, $X^2 - 5X + 4 \le 0$ 일 확률을 구하세요.

▸ 풀이 보기

$X^2 - 5X + 4 = (X - 1)(X - 4) \le 0$ 은 $1 \le X \le 4$ 이므로 확률은 $\dfrac{4 - 1}{6} = \dfrac{1}{2}$

이 단원에서 자주 하는 실수

$f(a)$ 를 $P(X = a)$ 로 착각하기 — 한 점의 확률은 0, $f(a)$ 는 높이예요.
확률밀도함수의 값이 1 보다 크면 안 된다고 생각하기 — 넓이만 1 이면 높이는 1 을 넘을 수 있어요(예: $0 \le x \le \dfrac{1}{2}$ 에서 $f(x) = 2$ ).
넓이를 구할 때 그래프가 꺾이는 점을 지나치기 — 꺾인 곳에서 나누어 더해요.
구하기 쉬운 쪽(여사건)으로 바꾸는 것을 잊기 — 전체 넓이 1 에서 빼요.

한 장 요약

연속확률변수: 구간의 모든 값을 가짐. 확률밀도함수 $f(x) \ge 0$ , 전체 넓이 1.
$P(a \le X \le b)$ = 그래프와 $x$ 축 사이 $a$ 부터 $b$ 까지의 넓이.
$P(X = a) = 0$ — 등호가 있든 없든 확률이 같아요.
상수는 '전체 넓이 = 1' 로, 균등분포는 '길이 ÷ 전체 길이' 로.

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 확률과 통계 · 통계 · 연속확률변수와 확률밀도함수

Practice

문제 풀기 60문제

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Q1몸풀기① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때
다음 중 연속확률변수인 것은?
Q2몸풀기② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{1}{4}$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, $P(1 \le X \le 3)$ 을 구하세요.
답
Q3몸풀기③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = k$ $(0 \le x \le 5)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하세요.
답
Q4몸풀기② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{x}{2}$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, $P(0 \le X \le 1)$ 을 구하세요.
답
Q5몸풀기① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{1}{4}$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, $P(X = 2)$ 를 구하세요.
답
Q6몸풀기④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{1}{8}$ $(2 \le x \le 10)$ 일 때, $P(X \le 4)$ 를 구하세요.
답
Q7몸풀기③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = kx$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하세요.
답
Q8몸풀기② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같을 때, $P(X \le 2)$ 를 구하세요.
답
Q9몸풀기① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때
다음 중 $0 \le x \le 2$ 에서 정의된 연속확률변수의 확률밀도함수가 될 수 있는 것은?
Q10몸풀기④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{1}{4}$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, $P(X \ge 3)$ 을 구하세요.
답
Q11몸풀기③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = a$ $(1 \le x \le 5)$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하세요.
답
Q12몸풀기② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{x}{2}$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, $P(1 \le X \le 2)$ 를 구하세요.
답
Q13기본② 확률 = 그래프 아래의 넓이계단 1/3
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{2}{9}x$ $(0 \le x \le 3)$ 일 때, $P(X \le 1)$ 을 구하세요.
답
Q14기본③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기계단 2/3
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = kx$ $(0 \le x \le 3)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하세요.
답
Q15기본② 확률 = 그래프 아래의 넓이계단 3/3
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = kx$ $(0 \le x \le 3)$ 일 때, $P(1 \le X \le 2)$ 를 구하세요. (단, $k$ 는 상수)
답
Q16기본③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = a(4 - x)$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하세요.
답
Q17기본② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{1}{8}(4 - x)$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, $P(X \le 2)$ 를 구하세요.
답
Q18기본① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수를 $f(x)$ 라 할 때, 항상 옳은 것은?
Q19기본② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같을 때, $P(1 \le X \le 3)$ 을 구하세요.
답
Q20기본③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기계단 1/2
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같이 $0 \le x \le 2$ 에서 높이 $c$ 로 일정하고 $2 \le x \le 4$ 에서 일직선으로 줄어 $x = 4$ 에서 0 이 돼요. 상수 $c$ 의 값을 구하세요.
답
Q21기본② 확률 = 그래프 아래의 넓이계단 2/2
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 $0 \le x \le 2$ 에서 높이 $\dfrac{1}{3}$ 로 일정하고 $2 \le x \le 4$ 에서 일직선으로 줄어 $x = 4$ 에서 0 이 돼요. $P(X \ge 2)$ 를 구하세요.
답
Q22기본④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포계단 1/2
10분 간격으로 오는 버스를 아무 때나 정류장에 가서 기다려요. 기다리는 시간이 7분 이하일 확률을 구하세요.
답
Q23기본④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포계단 2/2
10분 간격으로 오는 버스를 아무 때나 정류장에 가서 기다려요. 기다리는 시간이 2분 이상 4분 이하일 확률을 구하세요.
답
Q24기본① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{1}{4}$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, $P(X = 1.5) + P(X \le 1)$ 을 구하세요.
답
Q25기본② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 4)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 꼭대기가 $\left(2, \dfrac{1}{2}\right)$ 인 삼각형일 때, $P(X \le 1)$ 을 구하세요.
답
Q26기본③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기계단 1/3
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 6)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같이 점 $(2, h)$ 를 꼭대기로 하는 삼각형일 때, $h$ 의 값을 구하세요.
답
Q27기본② 확률 = 그래프 아래의 넓이계단 2/3
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 6)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 점 $\left(2, \dfrac{1}{3}\right)$ 을 꼭대기로 하는 삼각형일 때, $P(X \le 2)$ 를 구하세요.
답
Q28기본④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포
연속확률변수 $X$ 가 $-1 \le X \le 3$ 에서 균등분포를 따를 때, $P(X \ge 0)$ 을 구하세요.
답
Q29실력② 확률 = 그래프 아래의 넓이계단 3/3
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 6)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 점 $\left(2, \dfrac{1}{3}\right)$ 을 꼭대기로 하는 삼각형일 때, $P(1 \le X \le 4)$ 를 구하세요.
답
Q30실력③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $0 \le x \le 1$ 에서 $f(x) = ax$ , $1 \le x \le 3$ 에서 $f(x) = a$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하세요.
답
Q31실력② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $0 \le x \le 1$ 에서 $f(x) = \dfrac{2}{5}x$ , $1 \le x \le 3$ 에서 $f(x) = \dfrac{2}{5}$ 일 때, $P(X \le 2)$ 를 구하세요.
답
Q32실력② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ $(1 \le X \le 5)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 직선 $x = 3$ 에 대하여 대칭이고 $P(X \le 2) = 0.2$ 일 때, $P(2 \le X \le 4)$ 를 구하세요.
답
Q33실력④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포
연속확률변수 $X$ 가 $0 \le X \le a$ 에서 균등분포를 따르고 $P(X \le 2) = \dfrac{1}{5}$ 일 때, $a$ 의 값을 구하세요.
답
Q34실력③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = k(x + 1)$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하세요.
답
Q35실력② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{1}{4}(x + 1)$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, $P(X \ge 1)$ 을 구하세요.
답
Q36실력① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{x}{2}$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, $P\left(X \le 1 \;\middle|\; X \le \dfrac{3}{2}\right)$ 을 구하세요.
답
Q37실력④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포
길이가 6 km 인 곧은 길 위의 한 지점을 임의로 고를 때, 길의 양 끝 중 가까운 쪽까지의 거리가 1 km 이하일 확률을 구하세요.
답
Q38실력③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기계단 1/2
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = a|x - 2|$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하세요.
답
Q39실력② 확률 = 그래프 아래의 넓이계단 2/2
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{1}{4}|x - 2|$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, $P(1 \le X \le 3)$ 을 구하세요.
답
Q40실력② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 3)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같은 사다리꼴일 때, $P\left(\dfrac{1}{2} \le X \le \dfrac{5}{2}\right)$ 를 구하세요.
답
Q41실력④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포
어느 기계가 하루(0시~24시) 중 아무 때나 똑같이 그럴듯하게 한 번 고장 나요. 고장 난 시각이 오전 9시부터 오후 6시 사이일 확률을 구하세요.
답
Q42실력① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 4)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 직선 $x = 2$ 에 대하여 대칭이고 $P(X \le 1) = 0.2$ 일 때, $P(1 \le X \le 2)$ 를 구하세요.
답
Q43도전③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $0 \le x \le 2$ 에서 $f(x) = ax$ , $2 \le x \le 4$ 에서 $f(x) = 2a$ 일 때, $P(1 \le X \le 3)$ 을 구하세요. (단, $a$ 는 상수)
답
Q44도전② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 4)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 꼭대기가 $\left(2, \dfrac{1}{2}\right)$ 인 삼각형이에요. $P(X \le t) = \dfrac{1}{8}$ 을 만족하는 $t$ 의 값을 구하세요.
답
Q45도전④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포
연속확률변수 $X$ 가 $0 \le X \le 10$ 에서 균등분포를 따르고 $P(|X - 5| \le a) = 0.6$ 일 때, $a$ 의 값을 구하세요.
답
Q46도전① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때
연속확률변수 $X$ 와 두 실수 $a < b$ 에 대하여 $P(X \le a) = 0.3$ , $P(X \ge b) = 0.4$ 일 때, $P(a < X < b)$ 를 구하세요.
답
Q47도전③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 $0 \le x \le 1$ 에서 높이 $a$ 로 일정하고, $1 \le x \le c$ 에서 일직선으로 줄어 $x = c$ 에서 0 이 돼요. $P(X \le 1) = 0.4$ 일 때, $c$ 의 값을 구하세요.
답
Q48도전① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때서술형 · 스스로 채점
연속확률변수 $X$ 에서 $P(X = a) = 0$ 인 까닭과, 그래서 $P(a \le X \le b) = P(a < X < b)$ 가 되는 까닭을 넓이로 설명하세요. 확률밀도함수 $f(x) = \dfrac{x}{2}$ $(0 \le x \le 2)$ 로 $P(X \le 1)$ 과 $P(X < 1)$ 이 같음을 보이세요.
Q49도전② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{x}{8}$ $(0 \le x \le 4)$ 일 때, $P(X \le t) = \dfrac{1}{4}$ 을 만족하는 $t$ 의 값을 구하세요.
답
Q50도전④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포
연속확률변수 $X$ 가 $0 \le X \le 6$ 에서 균등분포를 따를 때, $X^2 - 6X + 8 \ge 0$ 일 확률을 구하세요.
답
Q51도전③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 4)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 점 $(a, h)$ 를 꼭대기로 하는 삼각형이에요 $(0 < a < 4)$ . $P(X \le a) = \dfrac{1}{4}$ 일 때, $a$ 의 값을 구하세요.
답
Q52도전② 확률 = 그래프 아래의 넓이
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 4)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 꼭대기가 $\left(2, \dfrac{1}{2}\right)$ 인 삼각형일 때, $P(X \ge 3 \mid X \ge 2)$ 를 구하세요.
답
Q53실전 · 2점② 확률 = 그래프 아래의 넓이수능·모의평가 · 확률밀도함수의 넓이 · 변형 유형
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{x}{2}$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, $P\left(\dfrac{1}{2} \le X \le \dfrac{3}{2}\right)$ 의 값은?
Q54실전 · 3점③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기수능·모의평가 · 확률밀도함수의 상수 · 변형 유형
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = a(3 - x)$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은?
Q55실전 · 3점② 확률 = 그래프 아래의 넓이수능·모의평가 · 대칭인 확률밀도함수 · 변형 유형
연속확률변수 $X$ $(1 \le X \le 5)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 직선 $x = 3$ 에 대하여 대칭이고 $P(2 \le X \le 4) = 0.4$ 일 때, $P(X \ge 4)$ 의 값은?
Q56실전 · 3점① 연속확률변수 — 구간의 모든 값을 가질 때수능·모의평가 · 확률밀도함수의 성질 (보기 고르기) · 변형 유형
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x) = \dfrac{x}{2}$ $(0 \le x \le 2)$ 일 때, 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (ㄱ. $P(X = 1) = 0$ ㄴ. $P(X \le 1) = \dfrac{1}{2}$ ㄷ. $P(1 \le X \le 2) = \dfrac{3}{4}$ )
Q57실전 · 3점③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기수능·모의평가 · 꺾인 확률밀도함수의 확률 (p+q) · 변형 유형
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $0 \le x \le 2$ 에서 $f(x) = ax$ , $2 \le x \le 3$ 에서 $f(x) = 2a$ 일 때, $P\left(1 \le X \le \dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{q}{p}$ 예요. $p + q$ 의 값을 구하세요. (단, $a$ 는 상수이고 $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수)
답
Q58실전 · 3점② 확률 = 그래프 아래의 넓이수능·모의평가 · 삼각형 확률밀도함수 (p+q) · 변형 유형
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le 4)$ 의 확률밀도함수의 그래프가 꼭대기가 $\left(2, \dfrac{1}{2}\right)$ 인 삼각형일 때, $P(X \le 3) = \dfrac{q}{p}$ 예요. $p + q$ 의 값을 구하세요. (단, $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수)
답
Q59실전 · 4점④ 고르게 퍼진 값 — 균등분포수능·모의평가 · 균등분포의 구간 길이 구하기 · 변형 유형
연속확률변수 $X$ 가 $0 \le X \le a$ 에서 균등분포를 따르고 $P(1 \le X \le 4) = \dfrac{3}{8}$ 일 때, $a$ 의 값을 구하세요. (단, $a > 4$ )
답
Q60실전 · 4점③ 전체 넓이 1 로 상수 구하기수능·모의평가 · 조건으로 확률밀도함수 정하기 (p+q) · 변형 · 그보다 어렵게 유형
연속확률변수 $X$ $(0 \le X \le c)$ 의 확률밀도함수가 $0 \le x \le 1$ 에서 $f(x) = ax$ , $1 \le x \le c$ 에서 $f(x) = a$ 이고 $P(X \le 1) = \dfrac{1}{7}$ 이에요. $P(X \ge 2) = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p + q$ 의 값을 구하세요. (단, $a$ , $c$ 는 상수이고 $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수)
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