UNIT 02

같은 것이 있는 순열

같은 글자가 섞여 있으면 구분해서 센 것 중 같은 글자끼리 자리를 바꾼 것들이 한 묶음이에요. n! 을 그 묶음의 크기로 나눠요.

고2어려움 ★★★★★약 80분#같은 것이 있는 순열#순서가 정해진 순열#최단 경로#글자 배열AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

같은 것이 있는 순열의 수를 n! ÷ (p!·q!·…) 으로 구하고, 왜 나누는지 '묶음'으로 설명한다.
순서가 정해진 문자들을 '같은 것'으로 바꿔 세는 방법을 쓴다.
최단 경로를 →와 ↑의 배열로 보고, 지나는 점·지나지 않는 점·막힌 길을 처리한다.
양 끝·이웃·이웃하지 않음 같은 조건이 붙은 배열을 센다.

앞에서 배운 것00 · 준비: 순열과 조합 다시 보기 →

문제 60개 풀기 ↓🖨 시험지 만들기 + 공부 계획표에 넣기

같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)

이 개념 문제 18개 풀기 →

$n$ 개 중 같은 것이 각각 $p$ 개, $q$ 개, … 있을 때, 이들을 모두 일렬로 나열하는 같은 것이 있는 순열의 수는

\frac{n!}{p!\,q!\,\cdots} \qquad (p + q + \cdots = n)

이유: 같은 것을 구분해 $A_1, A_2$ 처럼 번호를 붙이면 $n!$ 가지예요. 그런데 $A_1, A_2$ 의 자리를 바꾼 것은 번호를 떼면 같은 배열이므로, 같은 것끼리 바꾸는 $p! \times q! \times \cdots$ 가지가 한 묶음이 돼요. 묶음의 수가 서로 다른 배열의 수예요.

AABBC

A A B B C — 구분하면 5! = 120 이지만, A 끼리(2!)·B 끼리(2!) 바꾼 4개가 한 묶음 → 120 ÷ 4 = 30 가지

직접 해 보기

같은 글자를 구분하면, 안 하면

AABBC

같은 글자는 바꿔 놓아도 같은 말 → 5! ÷ (2! × 2!) = 30가지

모두 구분할 때 5!120

한 묶음의 크기 A: 2! · B: 2!4

서로 다른 배열120 ÷ 4 = 30

서로 다른 배열 30가지를 모두 늘어놓으면

AABBCAABCBAACBBABABCABACBABBACABBCAABCABABCBAACABBACBABACBBABAABCBAACBBABACBABCABACABBACBABBAACBBACABBCAABCAABBCABABCBAACAABBCABABCABBACBAABCBABACBBAA

해 볼 것 · AABBC 에서 '구분함'을 켜면 120, 끄면 30 — 한 묶음의 크기 4 를 확인해요. BANANA 로 바꿔서 60가지를 직접 늘어놓아 보세요.

같이 풀어 보기 1LEVEL

L, E, V, E, L 의 다섯 글자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

L 2개, E 2개, V 1개. 모두 구분하면 $5! = 120$ , 같은 글자끼리 바꾸는 $2! \times 2! = 4$ 가 한 묶음. $\dfrac{5!}{2!\,2!} = \dfrac{120}{4} = 30$ (가지)

같이 풀어 보기 2숫자 카드로 여섯 자리 수

1, 1, 2, 2, 2, 3 이 하나씩 적힌 카드 6장을 모두 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수의 개수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

0 이 없으니 모든 나열이 여섯 자리 자연수예요. 1 이 2개, 2 가 3개. $\dfrac{6!}{2!\,3!} = \dfrac{720}{12} = 60$ (개)

잠깐 퀴즈

a, a, a, b 네 글자를 모두 나열하는 경우의 수는?

순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다

이 개념 문제 13개 풀기 →

$a, b, c, d, e$ 를 나열할 때 $a$ 가 $b$ 보다 앞에 와야 한다면, $a$ 와 $b$ 를 모두 같은 글자 $X$ 로 바꿔 $X, X, c, d, e$ 를 나열한 뒤 앞의 $X$ 를 $a$ , 뒤의 $X$ 를 $b$ 로 읽으면 돼요. 순서가 정해진 문자는 같은 것과 똑같이 세요.

\begin{gathered} (a \text{ 가 } b \text{ 보다 앞}) = \frac{5!}{2!} = 60 \\ (a, b, c \text{ 가 이 순서}) = \frac{5!}{3!} = 20 \end{gathered}

XXcde

a 와 b 의 순서가 정해지면 둘을 같은 X 로 — X X c d e 의 배열 수 5!/2! 가 답. 순서가 정해진 글자가 k 개면 k! 로 나눈다.

같이 풀어 보기 3A, B, C 는 이 순서로

6명을 일렬로 세울 때, A 가 B 보다 앞에, B 가 C 보다 앞에 서는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

A, B, C 를 모두 같은 것 X 로 보면 X, X, X, D, E, F 의 나열: $\dfrac{6!}{3!} = 120$ (가지). (전체 $6! = 720$ 중 A, B, C 의 순서 $3! = 6$ 가지가 똑같이 나타나므로 $720 \div 6$ 과 같아요.)

같이 풀어 보기 4모음은 알파벳 순으로

S, I, L, E, N, T 의 여섯 글자를 모두 나열할 때, 모음 E 가 I 보다 앞에 오는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

E 와 I 의 순서가 정해졌으니 둘을 같은 것으로: $\dfrac{6!}{2!} = 360$ (가지)

잠깐 퀴즈

1, 2, 3, 4, 5 를 나열할 때 1, 2, 3 이 왼쪽부터 이 순서(1 → 2 → 3)로 나타나는 경우의 수는?

최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열

이 개념 문제 15개 풀기 →

00 단원에서 바둑판 길을 조합으로 셌죠. 같은 것이 있는 순열로 보면 더 자연스러워요. 오른쪽 4칸, 위 3칸의 최단 경로는 → 4개와 ↑ 3개를 나열하는 것이고, → 끼리 ↑ 끼리는 같은 것이니

\frac{7!}{4!\,3!} = 35 \;(= \nC{7}{4} = \nC{7}{3})

진한 길 = → ↑ → → ↑ ↑ → 라는 배열 하나. 7개 중 같은 것 4개와 3개 → 7!/(4!·3!) = 35

직접 해 보기

바둑판 길 = →와 ↑ 늘어놓기

오른쪽으로 갈 칸 수 a4위로 갈 칸 수 b3

교차점마다 길의 수 쓰기

움직임→ 4번, ↑ 3번 (모두 7번)

→ 를 놓을 자리 고르기7C4 = 35

가장 짧은 길의 수35가지

해 볼 것 · 칸 수를 a = 5, b = 2 로 두고 '교차점마다 길의 수 쓰기'를 켜 보세요. 학교에 적힌 수가 7!/(5!·2!) = 21 인지, 각 수가 왼쪽·아래 수의 합인지 확인해요.

조건이 붙은 길은 00 단원과 같아요. 꼭 지나는 점은 구간을 나눠 곱하고, 지나지 않는 점·**지나지 못하는 길(막힌 길)**은 전체에서 그 점·길을 지나는 경로를 빼요.

같이 풀어 보기 5P 를 지나는 길

오른쪽 5칸, 위 3칸인 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 점 P 를 지나는 경로의 수를 구하세요.

P 는 A 에서 오른쪽 2칸, 위 1칸

▸ 풀이 보기

A → P: → 2, ↑ 1 의 배열 $\dfrac{3!}{2!\,1!} = 3$ . P → B: → 3, ↑ 2 의 배열 $\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10$ . $3 \times 10 = 30$ (가지)

같이 풀어 보기 6막힌 길

오른쪽 4칸, 위 3칸인 바둑판에서 그림의 점선 길(공사 중)은 지날 수 없어요. A 에서 B 까지 가는 최단 경로의 수를 구하세요.

(2, 1) 과 (2, 2) 사이의 길이 막혀 있어요

▸ 풀이 보기

전체 $\dfrac{7!}{4!\,3!} = 35$ . 막힌 길을 지나는 경로는 A → $(2, 1)$ 이 $\dfrac{3!}{2!\,1!} = 3$ , 막힌 길을 지난 뒤 $(2, 2)$ → B 가 $\dfrac{3!}{2!\,1!} = 3$ 이므로 $3 \times 3 = 9$ . $35 - 9 = 26$ (가지)

조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음

이 개념 문제 14개 풀기 →

조건이 붙으면 조건부터 처리하고 남은 것을 같은 것이 있는 순열로 세요.

양 끝·특정 자리가 정해짐 → 그 자리에 둘 것을 먼저 놓고, 남은 것을 나열.
같은 것끼리 이웃 → 이웃할 것을 한 묶음으로 보고 나열 (묶음 안은 같은 것이라 바꿀 것이 없어요).
같은 것끼리 이웃하지 않음 → 나머지를 먼저 나열하고, 생긴 사이와 양 끝 자리 중에서 고르기. 넣는 것들이 같은 것이면 자리를 조합으로 골라요.

223

1, 1, 2, 2, 3 에서 1 끼리 이웃하지 않게: 2, 2, 3 을 먼저 나열(3!/2! = 3) → ∨2∨2∨3∨ 의 4자리 중 2자리에 1 을 넣기 ₄C₂ = 6 → 3 × 6 = 18

같이 풀어 보기 71 끼리 이웃하지 않게

1, 1, 2, 2, 3 이 하나씩 적힌 카드 5장을 모두 나열할 때, 1 이 적힌 카드끼리 이웃하지 않는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

2, 2, 3 을 먼저 나열: $\dfrac{3!}{2!} = 3$ (가지). 그 사이와 양 끝 4자리 중 1 을 넣을 2자리 고르기: 1 두 장은 같은 것이니 $\nC{4}{2} = 6$ (가지). $3 \times 6 = 18$ (가지) (확인: 전체 $\dfrac{5!}{2!\,2!} = 30$ 에서 1 끼리 이웃하는 $(11)$ 묶음 + 2, 2, 3 의 나열 $\dfrac{4!}{2!} = 12$ 를 빼도 $30 - 12 = 18$ .)

이 단원에서 자주 하는 실수

나누는 수를 더해서 쓰기 — $\dfrac{n!}{p! + q!}$ 이 아니라 $\dfrac{n!}{p!\,q!}$ .
같은 것이 여러 종류일 때 한 종류만 나누기 — 종류마다 모두 나눠요.
순서가 정해진 문자가 $k$ 개면 $k$ 가 아니라 $k!$ 로 나누기.
같은 것들을 사이에 넣을 때 순열 $\nP{m}{r}$ 로 세기 — 같은 것이면 조합 $\nC{m}{r}$ .
자연수를 만들 때 맨 앞의 0 — 전체에서 0 으로 시작하는 배열을 빼요.

한 장 요약

같은 것이 있는 순열 $\dfrac{n!}{p!\,q!\,\cdots}$ — 같은 것끼리 바꾼 $p!\,q!\cdots$ 개가 한 묶음.
순서가 정해진 $k$ 개의 문자는 같은 것으로 보고 $k!$ 로 나눈다.
최단 경로 = → 와 ↑ 의 배열 $\dfrac{(a+b)!}{a!\,b!}$ . 지나는 점은 구간을 곱하고, 못 지나는 점·길은 전체에서 뺀다.
조건은 먼저: 정해진 자리 → 먼저 놓기, 이웃 → 묶기, 이웃하지 않음 → 나머지를 나열하고 사이 자리를 조합으로 고르기.

교육과정 · 2022 개정 교육과정 · 확률과 통계 · 경우의 수 · 순열과 조합 (같은 것이 있는 순열)

Practice

문제 풀기 60문제

🖨 시험지 만들기

맞힘 0 · 틀림 0 · 푼 문제 0/60(이 기기에 저장돼요)

Q1몸풀기① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
a, a, b 세 글자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q2몸풀기① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
1, 1, 2, 2 가 하나씩 적힌 카드 4장을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q3몸풀기① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
L, E, V, E, L 의 다섯 글자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하세요.
LEVEL
답가지
Q4몸풀기① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
흰 공 3개와 검은 공 2개를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하세요. (같은 색 공은 구별하지 않아요.)
답가지
Q5몸풀기① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
B, A, N, A, N, A 의 여섯 글자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 나타내는 식은?
Q6몸풀기② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
a, b, c, d 의 네 글자를 모두 일렬로 나열할 때, a 가 b 보다 앞에 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q7몸풀기② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
5명을 일렬로 세울 때, A, B, C 가 왼쪽부터 이 순서대로 서는 경우의 수를 구하세요. (A, B, C 사이에 다른 사람이 끼어도 돼요.)
답가지
Q8몸풀기③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q9몸풀기③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q10몸풀기④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음
a, a, b, c 의 네 글자를 모두 나열할 때, 양 끝에 a 가 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q11몸풀기④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음
1, 1, 2, 3 이 적힌 카드 4장을 모두 나열할 때, 1 이 적힌 카드 두 장이 이웃하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q12몸풀기① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
같은 것이 있는 순열의 수를 $\dfrac{n!}{p!\,q!}$ 로 구하는 이유로 옳은 것은?
Q13기본① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
1, 1, 1, 2, 2, 3 이 하나씩 적힌 카드 6장을 모두 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수의 개수를 구하세요.
답개
Q14기본① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
빨간 공 2개, 파란 공 2개, 노란 공 2개를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하세요. (같은 색 공은 구별하지 않아요.)
답가지
Q15기본① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
S, U, C, C, E, S, S 의 일곱 글자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하세요.
SUCCESS
답가지
Q16기본① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
0, 0, 1, 1, 1 이 하나씩 적힌 카드 5장을 모두 나열하여 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수를 구하세요.
답개
Q17기본② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
a, b, c, d, e 의 다섯 글자를 모두 나열할 때, a, b, c 가 왼쪽부터 이 순서로 나타나는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q18기본② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
6명을 일렬로 세울 때, A 는 B 보다 앞에 서고 C 는 D 보다 앞에 서는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q19기본② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
1, 2, 3, 4, 5, 6 을 모두 나열할 때, 홀수 1, 3, 5 가 왼쪽부터 작은 순서(1, 3, 5)로 나타나는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q20기본② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
F, R, I, E, N, D 의 여섯 글자를 모두 나열할 때, 모음 E 가 I 보다 앞에 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q21기본③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q22기본③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 점 P 를 지나는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q23기본③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 점 P 를 지나는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q24기본③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 점 P 를 지나는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q25기본④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음
a, a, b, b, c 의 다섯 글자를 모두 나열할 때, 양 끝에 a 가 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q26기본④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음
1, 1, 2, 2, 3 이 적힌 카드 5장을 모두 나열할 때, 3 이 적힌 카드가 한가운데(세 번째)에 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q27기본④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음
a, a, a, b, b 의 다섯 글자를 모두 나열할 때, b 두 개가 이웃하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q28기본④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음
흰 공 2개와 검은 공 3개를 일렬로 나열할 때, 흰 공끼리 이웃하지 않는 경우의 수를 구하세요. (같은 색 공은 구별하지 않아요.)
답가지
Q29실력① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)계단 1/7
1, 1, 2, 2, 3, 3 이 하나씩 적힌 카드 6장을 모두 나열하여 만드는 여섯 자리 자연수 중 짝수의 개수를 구하세요.
112233
답개
Q30실력① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
0, 0, 1, 1, 2 가 하나씩 적힌 카드 5장을 모두 나열하여 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수를 구하세요.
답개
Q31실력① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
B, A, N, A, N, A 의 여섯 글자를 모두 나열할 때, B 가 맨 앞에 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q32실력② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
7명을 일렬로 세울 때, A, B, C 는 왼쪽부터 이 순서로 서고 D 는 E 보다 앞에 서는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q33실력② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
1, 2, 3, 4, 5 를 모두 나열할 때, 1 이 2 보다 앞에, 2 가 3 보다 앞에 오고, 4 가 5 보다 앞에 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q34실력② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
P, R, O, B, L, E, M 의 일곱 글자를 모두 나열할 때, 모음 O 와 E 가 알파벳 순서(E 가 O 보다 앞)로 나타나는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q35실력③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열계단 1/3
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 점 × 를 지나지 않는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q36실력③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 점선으로 표시된 길은 지날 수 없어요. A 에서 B 까지 가는 최단 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q37실력③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 두 점 P, Q 를 모두 지나는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q38실력③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 점 P 를 지나는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q39실력④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음계단 2/7
1, 1, 2, 2, 3, 3 이 적힌 카드 6장을 모두 나열할 때, 양 끝에 같은 숫자가 오는 경우의 수를 구하세요.
112233
답가지
Q40실력④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음계단 3/7
1, 1, 2, 2, 3, 3 이 적힌 카드 6장을 모두 나열할 때, 1 이 적힌 카드끼리 이웃하지 않는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q41실력④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음
흰 공 3개, 검은 공 2개, 빨간 공 1개를 일렬로 나열할 때, 흰 공 3개가 모두 이웃하는 경우의 수를 구하세요. (같은 색 공은 구별하지 않아요.)
답가지
Q42실력① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
1, 2, 2, 3, 3, 3 이 하나씩 적힌 카드 6장을 모두 나열하여 만드는 여섯 자리 자연수 중 홀수의 개수를 구하세요.
답개
Q43도전① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
0, 0, 1, 1, 2, 2 가 하나씩 적힌 카드 6장을 모두 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수 중 짝수의 개수를 구하세요.
답개
Q44도전② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
1, 2, 3, 4, 5, 6 을 모두 나열할 때, 1 이 2 보다 앞에, 2 가 3 보다 앞에 오고, 4 가 5 보다 앞에 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q45도전③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열계단 2/3
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 두 점 × 를 모두 지나지 않는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q46도전④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음계단 4/7
a, a, b, b, c, c 의 여섯 글자를 모두 나열할 때, 같은 글자끼리 어느 것도 이웃하지 않는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q47도전④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음서술형 · 스스로 채점
1, 1, 2, 2, 3 이 적힌 카드 5장을 모두 나열할 때 1 이 적힌 카드끼리 이웃하지 않는 경우의 수를 "나머지를 먼저 나열하고 사이에 넣기"로 구하는 과정을 쓰고, 1 의 자리를 고를 때 순열이 아니라 조합을 쓰는 이유를 설명하세요.
Q48도전③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 네 점 × 를 모두 지나지 않는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q49도전② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다
1 부터 8 까지의 수를 모두 나열할 때, 1, 2, 3, 4 가 왼쪽부터 이 순서로 나타나는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q50도전① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)
M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I 의 열한 글자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하세요.
MISSISSIPPI
답가지
Q51도전④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음계단 5/7
1, 1, 2, 2, 3, 3 이 적힌 카드 6장을 모두 나열할 때, 양 끝에 서로 다른 숫자가 오는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q52도전③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 두 점 P, Q 를 모두 지나는 경로의 수를 구하세요.
답가지
Q53실전 · 3점① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)계단 6/7수능·모의평가 · 같은 것이 있는 순열 (이웃 조건) · 변형 유형
1, 1, 2, 2, 3, 3 이 하나씩 적힌 카드 6장을 모두 나열할 때, 1 이 적힌 카드 두 장이 이웃하는 경우의 수는?
Q54실전 · 3점② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다수능·모의평가 · 순서가 정해진 순열 (여러 묶음) · 변형 유형
여섯 명 A, B, C, D, E, F 를 일렬로 세울 때, A 는 B 보다 앞에, C 는 D 보다 앞에, F 는 E 보다 앞에 서는 경우의 수는?
Q55실전 · 3점③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열계단 3/3수능·모의평가 · 두 점을 모두 지나는 최단 경로 · 변형 유형
그림과 같은 바둑판에서 A 에서 B 까지 가는 최단 경로 중 두 점 P, Q 를 모두 지나는 경로의 수는?
Q56실전 · 4점④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음계단 7/7수능·모의평가 · 같은 것끼리 이웃하지 않는 배열 (포함과 배제) · 변형 유형
1, 1, 2, 2, 3, 3 이 하나씩 적힌 카드 6장을 모두 나열할 때, 1 이 적힌 카드끼리 이웃하지 않고 2 가 적힌 카드끼리도 이웃하지 않는 경우의 수는? (3 이 적힌 카드는 이웃해도 돼요.)
Q57실전 · 3점② 순서가 정해진 것은 '같은 것'으로 본다수능·모의평가 · 특정 수들의 순서가 정해진 나열 단답 · 변형 유형
1 부터 7 까지의 수를 모두 나열할 때, 짝수 2, 4, 6 이 왼쪽부터 작은 순서(2, 4, 6)로 나타나는 경우의 수를 구하세요.
답
Q58실전 · 3점③ 최단 경로 다시 보기 — →와 ↑의 배열수능·모의평가 · 지나지 못하는 길이 있는 최단 경로 · 변형 유형
그림과 같은 바둑판에서 점선으로 표시된 길은 지날 수 없어요. A 에서 B 까지 가는 최단 경로의 수를 구하세요.
답
Q59실전 · 4점① 같은 것끼리 바꾼 것은 한 묶음 — n! ÷ (p!·q!·…)수능·모의평가 · 같은 숫자 카드로 배수 만들기 (맨 앞 0 처리) · 변형 유형
0, 1, 1, 2, 2, 2 가 하나씩 적힌 카드 6장을 모두 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수 중 4의 배수의 개수를 구하세요.
답
Q60실전 · 4점④ 조건이 있는 배열 — 양 끝·이웃·이웃하지 않음수능·모의평가 · 세 종류의 같은 것이 모두 이웃하지 않는 배열 · 변형 · 그보다 어렵게 유형
흰 공 2개, 검은 공 2개, 빨간 공 3개를 일렬로 나열할 때, 같은 색 공끼리 어느 것도 이웃하지 않는 경우의 수를 구하세요. (같은 색 공은 구별하지 않아요.)
답

이 단원에 대한 댓글

가입·로그인하면 댓글을 쓸 수 있어요.

만든 판

지금 기본 판

2026 · Claude Fable 5.1 판

확률통계#2026#claude-fable-5.1

만든 도구: Claude
모델: claude-fable-5-1
만든 날: 2026-10-14
다시 읽고 확인: 아직이에요

다른 판 보기

이 단원이 좋았다면

하트는 한 번, 별은 여러 번 누를 수 있어요.

친구에게 나누기

/notes/probability-statistics/permutations-with-repeats