UNIT 04+

부록: 원순열

원탁에서는 돌려서 같아지는 배열이 한 가지예요. n! 을 n 으로 나눈 (n−1)! — 2022 개정에서는 빠졌지만 기출에 자주 나와 부록으로 두었어요.

고2어려움 ★★★★★약 60분#원순열#원탁#염주#다각형 테이블AI와 함께 씀 · 아직 다시 읽지 않음

이 단원을 마치면

원순열의 수가 (n−1)! 인 이유를 '돌려서 같은 배열의 묶음'과 '한 명 고정하기'로 설명한다.
이웃·마주 보기·이웃하지 않음 같은 조건이 붙은 원순열을 센다.
다각형 테이블(회전해서 겹치는 자리 수로 나누기)과 염주(뒤집어도 같으면 2 로 나누기)를 구별해 센다.

앞에서 배운 것00 · 준비: 순열과 조합 다시 보기 →

문제 40개 풀기 ↓🖨 시험지 만들기 + 공부 계획표에 넣기

돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!

이 개념 문제 12개 풀기 →

서로 다른 $n$ 개를 원형으로 배열하는 것을 원순열이라 해요. 일렬 배열 $n!$ 가지 중 돌려서 같아지는 것이 $n$ 개씩 한 묶음이므로

(\text{원순열의 수}) = \frac{n!}{n} = (n-1)!

다른 생각: 한 사람(A)을 기준으로 고정하면 돌리는 것이 더 이상 의미가 없고, 나머지 $(n-1)$ 명을 A 를 기준으로 줄 세우는 것과 같아요 → $(n-1)!$ .

A 를 기준에 고정하면 B, C, D 를 A 의 오른쪽부터 차례로 세우는 것 → 3! = 6

직접 해 보기

돌려도 같은 자리

지금 배열: A B C D (시계 방향)

돌린 횟수 0

돌려서 같아지는 배열 4개 — 모두 같은 원순열

ABCD · BCDA · CDAB · DABC

줄 세우기로는 4! = 24가지지만, 이렇게 4개씩 한 묶음이 되니 24 ÷ 4 = 6가지예요. A 를 기준에 고정하면 나머지 3명을 줄 세우는 것과 같아요.

줄 세우기 4!24

원순열 (4−1)!6

한 묶음 (돌려서 같은 것)4개

뒤집어도 같다면 (4−1)!/23

해 볼 것 · '한 자리씩 돌리기'를 4번 누르면 처음 배열로 돌아와요 — 돌려서 같아지는 배열이 4개. 사람 수를 바꾸면 묶음의 크기가 어떻게 되나요? 'A 를 기준으로 고정'을 켜고 (n−1)! 과 비교해요.

같이 풀어 보기 15명이 원탁에

5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

$(5 - 1)! = 4! = 24$ (가지)

같이 풀어 보기 2뽑아서 원탁에

6명 중 4명을 뽑아 원탁에 둘러앉히는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

4명을 뽑는 $\nC{6}{4} = 15$ 와 뽑은 4명의 원순열 $(4-1)! = 6$ 을 곱해요: $15 \times 6 = 90$ (가지)

잠깐 퀴즈

번호가 적힌 의자 5개에 5명이 앉는 경우의 수는?

조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음

이 개념 문제 16개 풀기 →

이웃 → 이웃할 사람을 한 묶음으로 보고 원순열 $(n-2)!$ , 묶음 안에서 자리 바꾸기 $2!$ 를 곱해요.
마주 보기 ( $n$ 이 짝수) → 한 사람을 고정하면 마주 보는 자리는 저절로 정해져요. 나머지 $(n-2)$ 명을 줄 세우기: $(n-2)!$ .
이웃하지 않음 → 전체에서 이웃하는 경우를 빼거나, 나머지를 원탁에 앉히고 그 사이에 넣어요.
번갈아 앉기(남녀) → 한 남자를 고정하면 남자 자리와 여자 자리가 정해져요: $(\text{남}-1)! \times \text{여}!$ .

6명에서 A 를 고정하면 마주 보는 자리(D 의 자리)는 하나. A 와 마주 볼 사람을 두면 나머지 4명을 줄 세우는 4! = 24

같이 풀어 보기 3이웃하게

6명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 이웃하는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

(AB) 묶음과 나머지 4명, 모두 5개의 원순열 $(5-1)! = 24$ , 묶음 안에서 $2! = 2$ : $24 \times 2 = 48$ (가지)

같이 풀어 보기 4마주 보게

6명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 마주 보는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

A 를 고정하면 B 의 자리는 맞은편 하나로 정해지고, 나머지 4명을 남은 4자리에 줄 세워요: $4! = 24$ (가지)

잠깐 퀴즈

5명이 원탁에 둘러앉을 때 A 와 B 가 이웃하지 않는 경우의 수는?

다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다

이 개념 문제 12개 풀기 →

원순열의 " $n$ 으로 나누기"는 돌렸을 때 겹치는 자리가 $n$ 가지라서 그래요. 테이블 모양이 다르면 겹치는 자리의 수가 달라져요.

정사각형 테이블에 각 변 2명씩 8명: 90° 씩 돌려 겹치는 자리가 4가지 → $\dfrac{8!}{4} = 10080$ .
정삼각형 테이블에 각 변 2명씩 6명: 120° 씩 → $\dfrac{6!}{3} = 240$ .
직사각형 테이블(긴 변 3명, 짧은 변 1명씩 8명): 180° 만 겹침 → $\dfrac{8!}{2}$ .
염주·목걸이: 돌려서 같은 것(원순열)에 더해 뒤집어도 같으므로 다시 2 로 나눠요: $\dfrac{(n-1)!}{2}$ ( $n \ge 3$ ).
도형에 색칠하기: 원을 $n$ 등분해 서로 다른 $n$ 색 → 원순열 $(n-1)!$ . 정사각형을 4칸으로 나눠 4색 → $4! \div 4 = 6$ .

정육각형 테이블의 꼭짓점 6자리 — 60° 씩 돌려 겹치는 자리가 6가지라 원탁과 같은 (6−1)! = 120

같이 풀어 보기 5정사각형 테이블

정사각형 모양의 테이블 각 변에 2명씩 8명이 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.

▸ 풀이 보기

일렬로 세우듯 자리에 번호를 붙이면 $8!$ 가지인데, 90° 씩 돌린 4가지 자리가 서로 같은 배열이에요: $\dfrac{8!}{4} = \dfrac{40320}{4} = 10080$ (가지)

같이 풀어 보기 6목걸이

서로 다른 구슬 6개를 모두 꿰어 목걸이를 만드는 경우의 수를 구하세요. (돌리거나 뒤집어서 같은 것은 같은 목걸이로 봐요.)

▸ 풀이 보기

원순열 $(6-1)! = 120$ 가지 중 뒤집어서 같아지는 것이 2개씩 한 묶음: $120 \div 2 = 60$ (가지)

이 단원에서 자주 하는 실수

자리에 번호가 있는 의자인데 원순열로 세기 — 자리가 구별되면 $n!$ .
이웃 조건에서 묶음 안 자리 바꾸기 $2!$ 를 빠뜨리기.
마주 보기에서 한 사람을 고정한 뒤 맞은편 사람을 또 고르기 — 사람이 정해졌다면 자리만 하나.
정사각형 테이블을 원탁처럼 8 로 나누기 — 겹치는 자리는 변의 수(4)만큼.
염주에서 뒤집기를 빼먹기 — $(n-1)!$ 을 다시 2 로.

한 장 요약

원순열 $(n-1)! = n! \div n$ — 돌려서 같은 $n$ 개가 한 묶음, 또는 한 사람 고정 후 나머지 줄 세우기.
이웃 → 묶어서 $(n-2)! \times 2!$ . 마주 보기 → 고정 후 $(n-2)!$ . 이웃하지 않음 → 전체 − 이웃.
다각형 테이블 → $n! \div (\text{돌려서 겹치는 자리 수})$ . 정사각형 각 변 2명은 $8! \div 4$ .
염주·목걸이 → 돌리고 뒤집어도 같으니 $(n-1)! \div 2$ .

교육과정 · 2015 개정 '확률과 통계'의 원순열 — 2022 개정 교육과정에서는 제외되었으나 이전 기출에 자주 나와 부록으로 둠 (실전 단계 없음)

Practice

문제 풀기 40문제

🖨 시험지 만들기

맞힘 0 · 틀림 0 · 푼 문제 0/40(이 기기에 저장돼요)

Q1몸풀기① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q2몸풀기① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q3몸풀기① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
7명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q4몸풀기① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
$n$ 명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수가 $(n-1)!$ 인 이유로 옳은 것은?
Q5몸풀기① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
6명 중 3명을 뽑아 원탁에 둘러앉히는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q6몸풀기② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
5명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 이웃하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q7몸풀기② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
4명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 마주 보는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q8몸풀기② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
6명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 이웃하지 않는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q9몸풀기③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
서로 다른 구슬 5개를 모두 꿰어 목걸이를 만드는 경우의 수를 구하세요. (돌리거나 뒤집어서 같은 것은 같은 목걸이예요.)
답가지
Q10몸풀기③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
원을 4등분한 4개의 부채꼴에 서로 다른 4가지 색을 하나씩 칠하는 경우의 수를 구하세요. (돌려서 같은 것은 같은 것으로 봐요.)
답가지
Q11기본① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
8명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q12기본① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
남학생 3명과 여학생 3명이 원탁에 둘러앉는 모든 경우의 수를 구하세요. (조건 없음)
답가지
Q13기본① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
7명 중 5명을 뽑아 원탁에 둘러앉히는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q14기본① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
1 번부터 5 번까지 번호가 적힌 의자 5개가 원탁에 놓여 있어요. 5명이 이 의자에 앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q15기본② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
6명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 이웃하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q16기본② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
6명이 원탁에 둘러앉을 때, A, B, C 세 명이 모두 이웃하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q17기본② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
6명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 마주 보는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q18기본② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
남학생 4명과 여학생 4명이 원탁에 남녀가 번갈아 앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q19기본② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
5명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 사이에 정확히 한 명이 앉는 경우의 수를 구하세요. (A 에서 어느 쪽으로 돌아도 더 가까운 쪽을 기준으로 세요.)
답가지
Q20기본③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
서로 다른 구슬 7개를 모두 꿰어 목걸이를 만드는 경우의 수를 구하세요. (돌리거나 뒤집어서 같은 것은 같은 목걸이예요.)
답가지
Q21기본③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
정사각형 모양의 테이블 각 변에 2명씩 8명이 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q22기본③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
정삼각형 모양의 테이블 각 변에 2명씩 6명이 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q23실력① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
6명 중 특정한 두 사람 A, B 가 포함되도록 4명을 뽑아 원탁에 둘러앉히는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q24실력① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
8명을 4명씩 나누어 서로 다른 두 원탁 A, B 에 둘러앉히는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q25실력② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
7명이 원탁에 둘러앉을 때, A, B, C 중 어느 두 명도 이웃하지 않는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q26실력② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
6명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 이웃하고 C 와 D 도 이웃하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q27실력② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
6명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 마주 보고 C 와 D 도 마주 보는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q28실력② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
7명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 이웃하지 않는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q29실력③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
정사각형 모양의 테이블 각 변에 2명씩 8명이 둘러앉을 때, A 와 B 가 같은 변에 나란히 앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q30실력③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
서로 다른 구슬 6개 중 4개를 골라 꿰어 목걸이를 만드는 경우의 수를 구하세요. (돌리거나 뒤집어서 같은 것은 같은 목걸이예요.)
답가지
Q31실력③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
원을 6등분한 6개의 부채꼴에 서로 다른 6가지 색을 하나씩 칠하는 경우의 수를 구하세요. (돌려서 같은 것은 같은 것으로 봐요.)
답가지
Q32실력② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
교사 1명과 학생 5명이 원탁에 둘러앉을 때, 교사의 양옆에 특정한 학생 A, B 가 앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q33도전② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
남학생 4명과 여학생 4명이 원탁에 남녀가 번갈아 앉을 때, 남학생 A 와 여학생 B 가 이웃하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q34도전③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
직사각형 모양의 테이블의 긴 변에 3명씩, 짧은 변에 1명씩 모두 8명이 둘러앉는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q35도전① 돌려서 같으면 하나 — 원순열 (n−1)!
9명을 3명씩 나누어 서로 구별되지 않는 세 원탁에 둘러앉히는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q36도전② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
6명이 원탁에 둘러앉을 때, A, B, C 중 적어도 두 명이 이웃하는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q37도전③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다서술형 · 스스로 채점
서로 다른 구슬 $n$ 개( $n \ge 3$ )로 목걸이를 만드는 경우의 수가 $\dfrac{(n-1)!}{2}$ 인 이유를 "원순열"과 "뒤집기"로 설명하세요.
Q38도전③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
정사각형을 두 대각선으로 나눈 4개의 삼각형에 서로 다른 6가지 색 중 4가지를 골라 하나씩 칠하는 경우의 수를 구하세요. (돌려서 같은 것은 같은 것으로 봐요.)
답가지
Q39도전② 조건이 있는 원순열 — 이웃·마주 보기·이웃하지 않음
8명이 원탁에 둘러앉을 때, A 와 B 가 이웃하지도 않고 마주 보지도 않는 경우의 수를 구하세요.
답가지
Q40도전③ 다각형 테이블과 염주 — 겹치는 자리 수로 나눈다
서로 다른 구슬 8개 중 5개를 골라 꿰어 목걸이를 만드는 경우의 수를 구하세요. (돌리거나 뒤집어서 같은 것은 같은 목걸이예요.)
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만든 날: 2026-10-14
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